타원 $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$의 성질

타원 $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$의 중심, 초점들, 정점들, 부정점들, 장축의 길이, 장반경의 길이, 단축의 길이, 단반경의 길이, 면적, 둘레의 길이, 준점장들, 준점장의 길이(초점폭), 초점매개변수, 이심률, 이심거리(초점거리), 준선들, x절편, y절편, 정의역 및 치역을 구하시오.

타원의 방정식은 $$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$이며, 여기서 $$$\left(h, k\right)$$$는 중심이고, $$$b$$$와 $$$a$$$는 각각 장반경과 단반경의 길이이다.

이 형태에서 타원은 $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{4} + \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{5} = 1$$$입니다.

따라서 $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 2$$$, $$$b = \sqrt{5}$$$.

표준형은 $$$\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}} = 1$$$입니다.

꼭짓점형은 $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$입니다.

일반형은 $$$5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0$$$입니다.

선이심(초점거리)은 $$$c = \sqrt{b^{2} - a^{2}} = 1$$$입니다.

이심률은 $$$e = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$$입니다.

첫 번째 초점은 $$$\left(h, k - c\right) = \left(0, -1\right)$$$입니다.

두 번째 초점은 $$$\left(h, k + c\right) = \left(0, 1\right)$$$입니다.

첫 번째 꼭짓점은 $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, - \sqrt{5}\right)$$$입니다.

두 번째 꼭짓점은 $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, \sqrt{5}\right)$$$입니다.

첫 번째 보조 정점은 $$$\left(h - a, k\right) = \left(-2, 0\right)$$$입니다.

두 번째 부정점은 $$$\left(h + a, k\right) = \left(2, 0\right)$$$입니다.

장축의 길이는 $$$2 b = 2 \sqrt{5}$$$입니다.

단축의 길이는 $$$2 a = 4$$$입니다.

면적은 $$$\pi a b = 2 \sqrt{5} \pi$$$입니다.

원주의 길이는 $$$4 b E\left(\frac{\pi}{2}\middle| e^{2}\right) = 4 \sqrt{5} E\left(\frac{1}{5}\right)$$$입니다.

초점 매개변수는 초점과 준선 사이의 거리입니다: $$$\frac{a^{2}}{c} = 4$$$.

Latera recta는 각 초점을 지나고 단축에 평행한 직선들이다.

첫 번째 준현은 $$$y = -1$$$입니다.

두 번째 준통경은 $$$y = 1$$$입니다.

첫 번째 통경의 끝점은 연립방정식 $$$\begin{cases} 5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0 \\ y = -1 \end{cases}$$$를 풀어 구할 수 있습니다(단계는 연립방정식 계산기를 참조하세요).

첫 번째 준점현의 양 끝점은 $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)$$$입니다.

제2 준현의 양 끝점은 연립방정식 $$$\begin{cases} 5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0 \\ y = 1 \end{cases}$$$를 풀면 구할 수 있습니다(풀이 단계는 연립방정식 계산기를 참조하세요).

제2 통경의 양 끝점은 $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)$$$입니다.

latera recta(초점 너비)의 길이는 $$$\frac{2 a^{2}}{b} = \frac{8 \sqrt{5}}{5}$$$입니다.

첫 번째 준선은 $$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = -5$$$입니다.

두 번째 준선은 $$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = 5$$$입니다.

x절편은 방정식에 $$$y = 0$$$를 대입하고 $$$x$$$에 대해 풀면 구할 수 있습니다(단계는 intercepts calculator를 참고하세요).

x절편: $$$\left(-2, 0\right)$$$, $$$\left(2, 0\right)$$$

y-절편은 방정식에서 $$$x = 0$$$를 0으로 두고 $$$y$$$에 대해 풀어 구할 수 있습니다(단계는 intercepts calculator 참고).

y절편: $$$\left(0, - \sqrt{5}\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{5}\right)$$$

정의역은 $$$\left[h - a, h + a\right] = \left[-2, 2\right]$$$입니다.

치역은 $$$\left[k - b, k + b\right] = \left[- \sqrt{5}, \sqrt{5}\right]$$$입니다.

표준형/방정식: $$$\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}} = 1$$$A.

꼭짓점형/방정식: $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$A.

일반형/방정식: $$$5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0$$$A.

첫 번째 초점-준선 형식/방정식: $$$x^{2} + \left(y + 1\right)^{2} = \frac{\left(y + 5\right)^{2}}{5}$$$A.

두 번째 초점-준선 형태/방정식: $$$x^{2} + \left(y - 1\right)^{2} = \frac{\left(y - 5\right)^{2}}{5}$$$A.

그래프: 그래프 계산기를 참고하세요.

중심: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

첫 번째 초점: $$$\left(0, -1\right)$$$A.

두 번째 초점: $$$\left(0, 1\right)$$$A.

첫 번째 꼭짓점: $$$\left(0, - \sqrt{5}\right)\approx \left(0, -2.23606797749979\right)$$$A.

두 번째 정점: $$$\left(0, \sqrt{5}\right)\approx \left(0, 2.23606797749979\right)$$$A.

첫 번째 부정점: $$$\left(-2, 0\right)$$$A.

두 번째 보조 꼭짓점: $$$\left(2, 0\right)$$$A.

장축의 길이: $$$2 \sqrt{5}\approx 4.472135954999579$$$A.

장반경의 길이: $$$\sqrt{5}\approx 2.23606797749979$$$A.

단축의 길이: $$$4$$$A.

준단축의 길이: $$$2$$$A.

면적: $$$2 \sqrt{5} \pi\approx 14.049629462081453$$$A.

원주: $$$4 \sqrt{5} E\left(\frac{1}{5}\right)\approx 13.318334443130703$$$A.

첫 번째 통경: $$$y = -1$$$A.

두 번째 준통경: $$$y = 1$$$A.

제1 통경의 양끝점: $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)\approx \left(-1.788854381999832, -1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)\approx \left(1.788854381999832, -1\right)$$$A.

두 번째 준점선의 양 끝점: $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)\approx \left(-1.788854381999832, 1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)\approx \left(1.788854381999832, 1\right)$$$A.

준직경의 길이(초점 너비): $$$\frac{8 \sqrt{5}}{5}\approx 3.577708763999664$$$A.

초점 매개변수: $$$4$$$A.

이심률: $$$\frac{\sqrt{5}}{5}\approx 0.447213595499958$$$A.

선이심(초점거리): $$$1$$$A.

첫 번째 준선: $$$y = -5$$$A.

두 번째 준선: $$$y = 5$$$A.

x-절편: $$$\left(-2, 0\right)$$$, $$$\left(2, 0\right)$$$A.

y절편: $$$\left(0, - \sqrt{5}\right)\approx \left(0, -2.23606797749979\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{5}\right)\approx \left(0, 2.23606797749979\right)$$$A.

정의역: $$$\left[-2, 2\right]$$$A.

치역: $$$\left[- \sqrt{5}, \sqrt{5}\right]\approx \left[-2.23606797749979, 2.23606797749979\right]$$$A.