関数のリーマン和計算機
リーマン和を用いて(関数で与えられた)積分をステップバイステップで近似する
入力内容
積分 $$$\int\limits_{0}^{2} \sqrt[3]{x^{4} + 1}\, dx$$$ を、$$$n = 4$$$ を用いた左リーマン和で近似せよ。
解答
left Riemann sum（左端点近似とも呼ばれる）は、近似長方形の高さを求めるために部分区間の左端点を用いる：
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$$$
ただし $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$。
$$$f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x^{4} + 1}$$$, $$$a = 0$$$、$$$b = 2$$$、および$$$n = 4$$$が成り立つ。
したがって、$$$\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2}$$$。
区間 $$$\left[0, 2\right]$$$ を、長さ $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$ の $$$n = 4$$$ 個の部分区間に分割し、端点は次のとおりとする: $$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{2}$$$, $$$1$$$, $$$\frac{3}{2}$$$, $$$2 = b$$$。
では、小区間の左端点で関数の値を求めるだけです。
$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = 1$$$
$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{\sqrt[3]{17} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{4}\approx 1.020413775479337$$$
$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(1 \right)} = \sqrt[3]{2}\approx 1.259921049894873$$$
$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{3}{2} \right)} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{97}}{4}\approx 1.82340825744217$$$
最後に、上記の値を合計し、$$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$ を掛けます: $$$\frac{1}{2} \left(1 + 1.020413775479337 + 1.259921049894873 + 1.82340825744217\right) = 2.55187154140819.$$$
解答
$$$\int\limits_{0}^{2} \sqrt[3]{x^{4} + 1}\, dx\approx 2.55187154140819$$$A