関数の左端点近似計算機
左端点を用いて、関数で与えられた定積分を段階的に近似する
入力内容
左端点近似を用いて、$$$n = 5$$$ で積分 $$$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx$$$ を近似せよ。
解答
left Riemann sum（左端点近似とも呼ばれる）は、近似長方形の高さを求めるために部分区間の左端点を用いる：
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$$$
ただし $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$。
$$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}$$$, $$$a = 0$$$、$$$b = 4$$$、および$$$n = 5$$$が成り立つ。
したがって、$$$\Delta x = \frac{4 - 0}{5} = \frac{4}{5}$$$。
区間 $$$\left[0, 4\right]$$$ を、長さ $$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$ の $$$n = 5$$$ 個の部分区間に分割し、端点は次のとおりとする: $$$a = 0$$$, $$$\frac{4}{5}$$$, $$$\frac{8}{5}$$$, $$$\frac{12}{5}$$$, $$$\frac{16}{5}$$$, $$$4 = b$$$。
では、小区間の左端点で関数の値を求めるだけです。
$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}\approx 1.732050807568877$$$
$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{4}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 2}\approx 1.495196773630485$$$
$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(\frac{8}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{8}{5} \right)} + 2}\approx 1.414213819387789$$$
$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{12}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{12}{5} \right)} + 2}\approx 1.515144715776502$$$
$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(\frac{16}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{16}{5} \right)} + 2}\approx 1.730085700215823$$$
最後に、上記の値を合計し、$$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$ を掛けます: $$$\frac{4}{5} \left(1.732050807568877 + 1.495196773630485 + 1.414213819387789 + 1.515144715776502 + 1.730085700215823\right) = 6.309353453263581.$$$
解答
$$$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx\approx 6.309353453263581$$$A