関数の左端点近似計算機

左の端点(左のリーマン和)を使用して定積分を近似するためのオンライン計算機。手順が示されています。

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あなたの入力

左端の近似を使用して、 $$$n = 5$$$積分$$$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx$$$を近似します。

解決

左リーマン和(左端点近似とも呼ばれます)は、近似長方形の高さを計算するためにサブインターバルの左端点を使用します。

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$$$

ここで$$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$

$$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}$$$, $$$a = 0$$$$$$b = 4$$$$$$n = 5$$$あります。

したがって、 $$$\Delta x = \frac{4 - 0}{5} = \frac{4}{5}$$$

$$$\left[0, 4\right]$$$を、次のエンドポイントを持つ長さ$$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$ $$$n = 5$$$サブ間隔に分割し$$$a = 0$$$, $$$\frac{4}{5}$$$, $$$\frac{8}{5}$$$, $$$\frac{12}{5}$$$, $$$\frac{16}{5}$$$, $$$4 = b$$$

ここで、サブインターバルの左側の端点で関数を評価します。

$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}\approx 1.732050807568877$$$

$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{4}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 2}\approx 1.495196773630485$$$

$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(\frac{8}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{8}{5} \right)} + 2}\approx 1.414213819387789$$$

$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{12}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{12}{5} \right)} + 2}\approx 1.515144715776502$$$

$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(\frac{16}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{16}{5} \right)} + 2}\approx 1.730085700215823$$$

最後に、上記の値を合計し、 $$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$$$$\frac{4}{5} \left(1.732050807568877 + 1.495196773630485 + 1.414213819387789 + 1.515144715776502 + 1.730085700215823\right) = 6.309353453263581$$$を掛けます。

答え

$$$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx\approx 6.309353453263581$$$A