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関数の左端点近似計算機
あなたの入力
左端の近似を使用して、 $$$n = 5$$$積分$$$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx$$$を近似します。
解決
左リーマン和（左端点近似とも呼ばれます）は、近似長方形の高さを計算するためにサブインターバルの左端点を使用します。
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$$$
ここで$$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$ 。
$$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}$$$, $$$a = 0$$$ 、 $$$b = 4$$$ 、 $$$n = 5$$$あります。
したがって、 $$$\Delta x = \frac{4 - 0}{5} = \frac{4}{5}$$$ 。
$$$\left[0, 4\right]$$$を、次のエンドポイントを持つ長さ$$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$ $$$n = 5$$$サブ間隔に分割し$$$a = 0$$$, $$$\frac{4}{5}$$$, $$$\frac{8}{5}$$$, $$$\frac{12}{5}$$$, $$$\frac{16}{5}$$$, $$$4 = b$$$ 。
ここで、サブインターバルの左側の端点で関数を評価します。
$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}\approx 1.732050807568877$$$
$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{4}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 2}\approx 1.495196773630485$$$
$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(\frac{8}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{8}{5} \right)} + 2}\approx 1.414213819387789$$$
$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{12}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{12}{5} \right)} + 2}\approx 1.515144715776502$$$
$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(\frac{16}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{16}{5} \right)} + 2}\approx 1.730085700215823$$$
最後に、上記の値を合計し、 $$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$ ： $$$\frac{4}{5} \left(1.732050807568877 + 1.495196773630485 + 1.414213819387789 + 1.515144715776502 + 1.730085700215823\right) = 6.309353453263581$$$を掛けます。