$$$\frac{1}{1 - y}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{1 - y}\, dy$$$ を求めよ。

$$$u=1 - y$$$ とする。

すると $$$du=\left(1 - y\right)^{\prime }dy = - dy$$$（手順は»で確認できます）、$$$dy = - du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{1}{1 - y} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u} d u}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = - {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=1 - y$$$:

$$- \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(1 - y\right)}}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{1 - y} d y} = - \ln{\left(\left|{y - 1}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{1 - y} d y} = - \ln{\left(\left|{y - 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{1 - y}\, dy = - \ln\left(\left|{y - 1}\right|\right) + C$$$A