Integralen av $$$\frac{1}{1 - y}$$$

Bestäm $$$\int \frac{1}{1 - y}\, dy$$$.

Låt $$$u=1 - y$$$ vara.

Då $$$du=\left(1 - y\right)^{\prime }dy = - dy$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dy = - du$$$.

Integralen blir

$${\color{red}{\int{\frac{1}{1 - y} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=-1$$$ och $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u} d u}\right)}}$$

Integralen av $$$\frac{1}{u}$$$ är $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = - {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Kom ihåg att $$$u=1 - y$$$:

$$- \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(1 - y\right)}}}\right| \right)}$$

Alltså,

$$\int{\frac{1}{1 - y} d y} = - \ln{\left(\left|{y - 1}\right| \right)}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{1}{1 - y} d y} = - \ln{\left(\left|{y - 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{1 - y}\, dy = - \ln\left(\left|{y - 1}\right|\right) + C$$$A