$$$\frac{3}{x^{2} + 2}$$$の積分

$$$\int \frac{3}{x^{2} + 2}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=3$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 2}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{3}{x^{2} + 2} d x}}} = {\color{red}{\left(3 \int{\frac{1}{x^{2} + 2} d x}\right)}}$$

$$$u=\frac{\sqrt{2}}{2} x$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{\sqrt{2}}{2} x\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{2}}{2} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \sqrt{2} du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$3 {\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} + 2} d x}}} = 3 {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2}}{2 \left(u^{2} + 1\right)} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{\sqrt{2}}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 1}$$$ に対して適用する:

$$3 {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2}}{2 \left(u^{2} + 1\right)} d u}}} = 3 {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}{2}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u^{2} + 1}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$ です:

$$\frac{3 \sqrt{2} {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{\sqrt{2}}{2} x$$$:

$$\frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\frac{\sqrt{2}}{2} x}} \right)}}{2}$$

したがって、

$$\int{\frac{3}{x^{2} + 2} d x} = \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{3}{x^{2} + 2} d x} = \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{3}{x^{2} + 2}\, dx = \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2} + C$$$A