$$$-1 + e^{- x}$$$の積分

$$$\int \left(-1 + e^{- x}\right)\, dx$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(-1 + e^{- x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{1 d x} + \int{e^{- x} d x}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$\int{e^{- x} d x} - {\color{red}{\int{1 d x}}} = \int{e^{- x} d x} - {\color{red}{x}}$$

$$$u=- x$$$ とする。

すると $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = - du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$- x + {\color{red}{\int{e^{- x} d x}}} = - x + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$$- x + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - x + {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- x - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - x - {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=- x$$$:

$$- x - e^{{\color{red}{u}}} = - x - e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}$$

したがって、

$$\int{\left(-1 + e^{- x}\right)d x} = - x - e^{- x}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(-1 + e^{- x}\right)d x} = - x - e^{- x}+C$$

$$$\int \left(-1 + e^{- x}\right)\, dx = \left(- x - e^{- x}\right) + C$$$A