$$$-1 + e^{- x}$$$ 的積分

求$$$\int \left(-1 + e^{- x}\right)\, dx$$$。

逐項積分：

$${\color{red}{\int{\left(-1 + e^{- x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{1 d x} + \int{e^{- x} d x}\right)}}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：

$$\int{e^{- x} d x} - {\color{red}{\int{1 d x}}} = \int{e^{- x} d x} - {\color{red}{x}}$$

令 $$$u=- x$$$。

則 $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - du$$$。

因此，

$$- x + {\color{red}{\int{e^{- x} d x}}} = - x + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$$- x + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - x + {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- x - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - x - {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=- x$$$：

$$- x - e^{{\color{red}{u}}} = - x - e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}$$

因此，

$$\int{\left(-1 + e^{- x}\right)d x} = - x - e^{- x}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(-1 + e^{- x}\right)d x} = - x - e^{- x}+C$$

$$$\int \left(-1 + e^{- x}\right)\, dx = \left(- x - e^{- x}\right) + C$$$A