$$$- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$$$の積分

$$$\int \left(- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\right)\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} d x}\right)}}$$

$$$n=- \frac{2}{3}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} d x}}}=- {\color{red}{\int{x^{- \frac{2}{3}} d x}}}=- {\color{red}{\frac{x^{- \frac{2}{3} + 1}}{- \frac{2}{3} + 1}}}=- {\color{red}{\left(3 x^{\frac{1}{3}}\right)}}=- {\color{red}{\left(3 \sqrt[3]{x}\right)}}$$

したがって、

$$\int{\left(- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\right)d x} = - 3 \sqrt[3]{x}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\right)d x} = - 3 \sqrt[3]{x}+C$$

$$$\int \left(- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\right)\, dx = - 3 \sqrt[3]{x} + C$$$A