|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$$x^{\frac{3}{2}} + 2$$$の積分
入力内容
$$$\int \left(x^{\frac{3}{2}} + 2\right)\, dx$$$ を求めよ。
解答
項別に積分せよ:
$${\color{red}{\int{\left(x^{\frac{3}{2}} + 2\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{2 d x} + \int{x^{\frac{3}{2}} d x}\right)}}$$
$$$c=2$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:
$$\int{x^{\frac{3}{2}} d x} + {\color{red}{\int{2 d x}}} = \int{x^{\frac{3}{2}} d x} + {\color{red}{\left(2 x\right)}}$$
$$$n=\frac{3}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$2 x + {\color{red}{\int{x^{\frac{3}{2}} d x}}}=2 x + {\color{red}{\frac{x^{1 + \frac{3}{2}}}{1 + \frac{3}{2}}}}=2 x + {\color{red}{\left(\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}\right)}}$$
したがって、
$$\int{\left(x^{\frac{3}{2}} + 2\right)d x} = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 x$$
積分定数を加える:
$$\int{\left(x^{\frac{3}{2}} + 2\right)d x} = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 x+C$$
解答
$$$\int \left(x^{\frac{3}{2}} + 2\right)\, dx = \left(\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 x\right) + C$$$A