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$$$- x^{23} + x + 1$$$の積分
入力内容
$$$\int \left(- x^{23} + x + 1\right)\, dx$$$ を求めよ。
解答
項別に積分せよ:
$${\color{red}{\int{\left(- x^{23} + x + 1\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d x} + \int{x d x} - \int{x^{23} d x}\right)}}$$
$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:
$$\int{x d x} - \int{x^{23} d x} + {\color{red}{\int{1 d x}}} = \int{x d x} - \int{x^{23} d x} + {\color{red}{x}}$$
$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$x - \int{x^{23} d x} + {\color{red}{\int{x d x}}}=x - \int{x^{23} d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=x - \int{x^{23} d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$
$$$n=23$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$\frac{x^{2}}{2} + x - {\color{red}{\int{x^{23} d x}}}=\frac{x^{2}}{2} + x - {\color{red}{\frac{x^{1 + 23}}{1 + 23}}}=\frac{x^{2}}{2} + x - {\color{red}{\left(\frac{x^{24}}{24}\right)}}$$
したがって、
$$\int{\left(- x^{23} + x + 1\right)d x} = - \frac{x^{24}}{24} + \frac{x^{2}}{2} + x$$
簡単化せよ:
$$\int{\left(- x^{23} + x + 1\right)d x} = \frac{x \left(- x^{23} + 12 x + 24\right)}{24}$$
積分定数を加える:
$$\int{\left(- x^{23} + x + 1\right)d x} = \frac{x \left(- x^{23} + 12 x + 24\right)}{24}+C$$
解答
$$$\int \left(- x^{23} + x + 1\right)\, dx = \frac{x \left(- x^{23} + 12 x + 24\right)}{24} + C$$$A