$$$x^{2} \sqrt{x^{3}}$$$の積分

$$$\int x^{2} \sqrt{x^{3}}\, dx$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{x^{2} \sqrt{x^{3}} d x}=\int{x^{\frac{7}{2}} d x}$$$。

$$$n=\frac{7}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$${\color{red}{\int{x^{\frac{7}{2}} d x}}}={\color{red}{\frac{x^{1 + \frac{7}{2}}}{1 + \frac{7}{2}}}}={\color{red}{\left(\frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9}\right)}}$$

したがって、

$$\int{x^{\frac{7}{2}} d x} = \frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9}$$

積分定数を加える:

$$\int{x^{\frac{7}{2}} d x} = \frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9}+C$$

$$$\int x^{2} \sqrt{x^{3}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9} + C$$$A