$$$\sin^{9}{\left(\theta \right)} \cos{\left(\theta \right)}$$$の積分

$$$\int \sin^{9}{\left(\theta \right)} \cos{\left(\theta \right)}\, d\theta$$$ を求めよ。

$$$u=\sin{\left(\theta \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\sin{\left(\theta \right)}\right)^{\prime }d\theta = \cos{\left(\theta \right)} d\theta$$$（手順は»で確認できます）、$$$\cos{\left(\theta \right)} d\theta = du$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\sin^{9}{\left(\theta \right)} \cos{\left(\theta \right)} d \theta}}} = {\color{red}{\int{u^{9} d u}}}$$

$$$n=9$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$${\color{red}{\int{u^{9} d u}}}={\color{red}{\frac{u^{1 + 9}}{1 + 9}}}={\color{red}{\left(\frac{u^{10}}{10}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\sin{\left(\theta \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{10}}{10} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(\theta \right)}}}^{10}}{10}$$

したがって、

$$\int{\sin^{9}{\left(\theta \right)} \cos{\left(\theta \right)} d \theta} = \frac{\sin^{10}{\left(\theta \right)}}{10}$$

積分定数を加える:

$$\int{\sin^{9}{\left(\theta \right)} \cos{\left(\theta \right)} d \theta} = \frac{\sin^{10}{\left(\theta \right)}}{10}+C$$

$$$\int \sin^{9}{\left(\theta \right)} \cos{\left(\theta \right)}\, d\theta = \frac{\sin^{10}{\left(\theta \right)}}{10} + C$$$A