Ολοκλήρωμα του $$$\sin^{9}{\left(\theta \right)} \cos{\left(\theta \right)}$$$

Βρείτε $$$\int \sin^{9}{\left(\theta \right)} \cos{\left(\theta \right)}\, d\theta$$$.

Έστω $$$u=\sin{\left(\theta \right)}$$$.

Τότε $$$du=\left(\sin{\left(\theta \right)}\right)^{\prime }d\theta = \cos{\left(\theta \right)} d\theta$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$\cos{\left(\theta \right)} d\theta = du$$$.

Το ολοκλήρωμα μπορεί να επαναγραφεί ως

$${\color{red}{\int{\sin^{9}{\left(\theta \right)} \cos{\left(\theta \right)} d \theta}}} = {\color{red}{\int{u^{9} d u}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ με $$$n=9$$$:

$${\color{red}{\int{u^{9} d u}}}={\color{red}{\frac{u^{1 + 9}}{1 + 9}}}={\color{red}{\left(\frac{u^{10}}{10}\right)}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=\sin{\left(\theta \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{10}}{10} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(\theta \right)}}}^{10}}{10}$$

Επομένως,

$$\int{\sin^{9}{\left(\theta \right)} \cos{\left(\theta \right)} d \theta} = \frac{\sin^{10}{\left(\theta \right)}}{10}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\sin^{9}{\left(\theta \right)} \cos{\left(\theta \right)} d \theta} = \frac{\sin^{10}{\left(\theta \right)}}{10}+C$$

$$$\int \sin^{9}{\left(\theta \right)} \cos{\left(\theta \right)}\, d\theta = \frac{\sin^{10}{\left(\theta \right)}}{10} + C$$$A