$$$\sin{\left(2 \theta \right)}$$$の積分

$$$\int \sin{\left(2 \theta \right)}\, d\theta$$$ を求めよ。

$$$u=2 \theta$$$ とする。

すると $$$du=\left(2 \theta\right)^{\prime }d\theta = 2 d\theta$$$（手順は»で確認できます）、$$$d\theta = \frac{du}{2}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\sin{\left(2 \theta \right)} d \theta}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$u=2 \theta$$$:

$$- \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = - \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(2 \theta\right)}} \right)}}{2}$$

したがって、

$$\int{\sin{\left(2 \theta \right)} d \theta} = - \frac{\cos{\left(2 \theta \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\sin{\left(2 \theta \right)} d \theta} = - \frac{\cos{\left(2 \theta \right)}}{2}+C$$

$$$\int \sin{\left(2 \theta \right)}\, d\theta = - \frac{\cos{\left(2 \theta \right)}}{2} + C$$$A