$$$x e^{2} e^{x}$$$の積分

$$$\int x e^{2} e^{x}\, dx$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{x e^{2} e^{x} d x}=\int{x e^{x + 2} d x}$$$。

積分 $$$\int{x e^{x + 2} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=x$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{x + 2} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{x + 2} d x}=e^{x + 2}$$$（手順は»を参照）。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{x e^{x + 2} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot e^{x + 2}-\int{e^{x + 2} \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(x e^{x + 2} - \int{e^{x + 2} d x}\right)}}$$

$$$u=x + 2$$$ とする。

すると $$$du=\left(x + 2\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。

積分は次のようになります

$$x e^{x + 2} - {\color{red}{\int{e^{x + 2} d x}}} = x e^{x + 2} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$x e^{x + 2} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = x e^{x + 2} - {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x + 2$$$:

$$x e^{x + 2} - e^{{\color{red}{u}}} = x e^{x + 2} - e^{{\color{red}{\left(x + 2\right)}}}$$

したがって、

$$\int{x e^{x + 2} d x} = x e^{x + 2} - e^{x + 2}$$

簡単化せよ:

$$\int{x e^{x + 2} d x} = \left(x - 1\right) e^{x + 2}$$

積分定数を加える:

$$\int{x e^{x + 2} d x} = \left(x - 1\right) e^{x + 2}+C$$

$$$\int x e^{2} e^{x}\, dx = \left(x - 1\right) e^{x + 2} + C$$$A