Intégrale de $$$x e^{2} e^{x}$$$

Déterminez $$$\int x e^{2} e^{x}\, dx$$$.

L’entrée est réécrite : $$$\int{x e^{2} e^{x} d x}=\int{x e^{x + 2} d x}$$$.

Pour l’intégrale $$$\int{x e^{x + 2} d x}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=x$$$ et $$$\operatorname{dv}=e^{x + 2} dx$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{e^{x + 2} d x}=e^{x + 2}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

Donc,

$${\color{red}{\int{x e^{x + 2} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot e^{x + 2}-\int{e^{x + 2} \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(x e^{x + 2} - \int{e^{x + 2} d x}\right)}}$$

Soit $$$u=x + 2$$$.

Alors $$$du=\left(x + 2\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = du$$$.

Par conséquent,

$$x e^{x + 2} - {\color{red}{\int{e^{x + 2} d x}}} = x e^{x + 2} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$x e^{x + 2} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = x e^{x + 2} - {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=x + 2$$$ :

$$x e^{x + 2} - e^{{\color{red}{u}}} = x e^{x + 2} - e^{{\color{red}{\left(x + 2\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{x e^{x + 2} d x} = x e^{x + 2} - e^{x + 2}$$

Simplifier:

$$\int{x e^{x + 2} d x} = \left(x - 1\right) e^{x + 2}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{x e^{x + 2} d x} = \left(x - 1\right) e^{x + 2}+C$$

$$$\int x e^{2} e^{x}\, dx = \left(x - 1\right) e^{x + 2} + C$$$A