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$$$\frac{1}{2 a^{6} x^{6}}$$$ の $$$x$$$ に関する積分
入力内容
$$$\int \frac{1}{2 a^{6} x^{6}}\, dx$$$ を求めよ。
解答
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{2 a^{6}}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{6}}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 a^{6} x^{6}} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{x^{6}} d x}}{2 a^{6}}\right)}}$$
$$$n=-6$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{x^{6}} d x}}}}{2 a^{6}}=\frac{{\color{red}{\int{x^{-6} d x}}}}{2 a^{6}}=\frac{{\color{red}{\frac{x^{-6 + 1}}{-6 + 1}}}}{2 a^{6}}=\frac{{\color{red}{\left(- \frac{x^{-5}}{5}\right)}}}{2 a^{6}}=\frac{{\color{red}{\left(- \frac{1}{5 x^{5}}\right)}}}{2 a^{6}}$$
したがって、
$$\int{\frac{1}{2 a^{6} x^{6}} d x} = - \frac{1}{10 a^{6} x^{5}}$$
積分定数を加える:
$$\int{\frac{1}{2 a^{6} x^{6}} d x} = - \frac{1}{10 a^{6} x^{5}}+C$$
解答
$$$\int \frac{1}{2 a^{6} x^{6}}\, dx = - \frac{1}{10 a^{6} x^{5}} + C$$$A