$$$\frac{1}{54 \sin{\left(x \right)}}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{54 \sin{\left(x \right)}}\, dx$$$ を求めよ。

二倍角の公式を用いて正弦を書き換える $$$\sin\left(x\right)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{54 \sin{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{108 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}$$

分子と分母に$$$\sec^2\left(\frac{x}{2} \right)$$$を掛ける:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{108 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{108 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}$$

$$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} dx = 2 du$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{108 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{54 u} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{54}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{54 u} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{54}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{54} = \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{54}$$

次のことを思い出してください $$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{54} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}}}\right| \right)}}{54}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{54 \sin{\left(x \right)}} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right| \right)}}{54}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{54 \sin{\left(x \right)}} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right| \right)}}{54}+C$$

$$$\int \frac{1}{54 \sin{\left(x \right)}}\, dx = \frac{\ln\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right|\right)}{54} + C$$$A