$$$\frac{1}{54 \sin{\left(x \right)}}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \frac{1}{54 \sin{\left(x \right)}}\, dx$$$.

Sinüsü çift açı formülünü kullanarak yeniden yazın $$$\sin\left(x\right)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{54 \sin{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{108 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}$$

Payı ve paydayı $$$\sec^2\left(\frac{x}{2} \right)$$$ ile çarpın.:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{108 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{108 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}$$

$$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} dx = 2 du$$$ elde ederiz.

İntegral şu hale gelir

$${\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{108 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{54 u} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\frac{1}{54}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{54 u} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{54}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$'nin integrali $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{54} = \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{54}$$

Hatırlayın ki $$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{54} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}}}\right| \right)}}{54}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{1}{54 \sin{\left(x \right)}} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right| \right)}}{54}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{1}{54 \sin{\left(x \right)}} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right| \right)}}{54}+C$$

$$$\int \frac{1}{54 \sin{\left(x \right)}}\, dx = \frac{\ln\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right|\right)}{54} + C$$$A