$$$\cot{\left(c \right)}$$$の積分

$$$\int \cot{\left(c \right)}\, dc$$$ を求めよ。

余接関数を$$$\cot\left(c\right)=\frac{\cos\left(c\right)}{\sin\left(c\right)}$$$として書き換えなさい:

$${\color{red}{\int{\cot{\left(c \right)} d c}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(c \right)}}{\sin{\left(c \right)}} d c}}}$$

$$$u=\sin{\left(c \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\sin{\left(c \right)}\right)^{\prime }dc = \cos{\left(c \right)} dc$$$（手順は»で確認できます）、$$$\cos{\left(c \right)} dc = du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(c \right)}}{\sin{\left(c \right)}} d c}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\sin{\left(c \right)}$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\sin{\left(c \right)}}}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\cot{\left(c \right)} d c} = \ln{\left(\left|{\sin{\left(c \right)}}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\cot{\left(c \right)} d c} = \ln{\left(\left|{\sin{\left(c \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \cot{\left(c \right)}\, dc = \ln\left(\left|{\sin{\left(c \right)}}\right|\right) + C$$$A