$$$\frac{9}{5 - 4 x}$$$の積分

$$$\int \frac{9}{5 - 4 x}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=9$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{5 - 4 x}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{9}{5 - 4 x} d x}}} = {\color{red}{\left(9 \int{\frac{1}{5 - 4 x} d x}\right)}}$$

$$$u=5 - 4 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(5 - 4 x\right)^{\prime }dx = - 4 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = - \frac{du}{4}$$$ となります。

したがって、

$$9 {\color{red}{\int{\frac{1}{5 - 4 x} d x}}} = 9 {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{4 u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=- \frac{1}{4}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ に対して適用する:

$$9 {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{4 u}\right)d u}}} = 9 {\color{red}{\left(- \frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{4}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$- \frac{9 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{4} = - \frac{9 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{4}$$

次のことを思い出してください $$$u=5 - 4 x$$$:

$$- \frac{9 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{4} = - \frac{9 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(5 - 4 x\right)}}}\right| \right)}}{4}$$

したがって、

$$\int{\frac{9}{5 - 4 x} d x} = - \frac{9 \ln{\left(\left|{4 x - 5}\right| \right)}}{4}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{9}{5 - 4 x} d x} = - \frac{9 \ln{\left(\left|{4 x - 5}\right| \right)}}{4}+C$$

$$$\int \frac{9}{5 - 4 x}\, dx = - \frac{9 \ln\left(\left|{4 x - 5}\right|\right)}{4} + C$$$A