$$$\frac{1}{t^{3} - t}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{t^{3} - t}\, dt$$$ を求めよ。

部分分数分解を行う (手順は»で確認できます):

$${\color{red}{\int{\frac{1}{t^{3} - t} d t}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2 \left(t + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(t - 1\right)} - \frac{1}{t}\right)d t}}}$$

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2 \left(t + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(t - 1\right)} - \frac{1}{t}\right)d t}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{t} d t} + \int{\frac{1}{2 \left(t - 1\right)} d t} + \int{\frac{1}{2 \left(t + 1\right)} d t}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(t \right)} = \frac{1}{t + 1}$$$ に対して適用する:

$$- \int{\frac{1}{t} d t} + \int{\frac{1}{2 \left(t - 1\right)} d t} + {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \left(t + 1\right)} d t}}} = - \int{\frac{1}{t} d t} + \int{\frac{1}{2 \left(t - 1\right)} d t} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{t + 1} d t}}{2}\right)}}$$

$$$u=t + 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(t + 1\right)^{\prime }dt = 1 dt$$$（手順は»で確認できます）、$$$dt = du$$$ となります。

したがって、

$$- \int{\frac{1}{t} d t} + \int{\frac{1}{2 \left(t - 1\right)} d t} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{t + 1} d t}}}}{2} = - \int{\frac{1}{t} d t} + \int{\frac{1}{2 \left(t - 1\right)} d t} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$- \int{\frac{1}{t} d t} + \int{\frac{1}{2 \left(t - 1\right)} d t} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} = - \int{\frac{1}{t} d t} + \int{\frac{1}{2 \left(t - 1\right)} d t} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$u=t + 1$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} - \int{\frac{1}{t} d t} + \int{\frac{1}{2 \left(t - 1\right)} d t} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(t + 1\right)}}}\right| \right)}}{2} - \int{\frac{1}{t} d t} + \int{\frac{1}{2 \left(t - 1\right)} d t}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(t \right)} = \frac{1}{t - 1}$$$ に対して適用する:

$$\frac{\ln{\left(\left|{t + 1}\right| \right)}}{2} - \int{\frac{1}{t} d t} + {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \left(t - 1\right)} d t}}} = \frac{\ln{\left(\left|{t + 1}\right| \right)}}{2} - \int{\frac{1}{t} d t} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{t - 1} d t}}{2}\right)}}$$

$$$u=t - 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(t - 1\right)^{\prime }dt = 1 dt$$$（手順は»で確認できます）、$$$dt = du$$$ となります。

したがって、

$$\frac{\ln{\left(\left|{t + 1}\right| \right)}}{2} - \int{\frac{1}{t} d t} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{t - 1} d t}}}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{t + 1}\right| \right)}}{2} - \int{\frac{1}{t} d t} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$\frac{\ln{\left(\left|{t + 1}\right| \right)}}{2} - \int{\frac{1}{t} d t} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{t + 1}\right| \right)}}{2} - \int{\frac{1}{t} d t} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$u=t - 1$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{t + 1}\right| \right)}}{2} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} - \int{\frac{1}{t} d t} = \frac{\ln{\left(\left|{t + 1}\right| \right)}}{2} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(t - 1\right)}}}\right| \right)}}{2} - \int{\frac{1}{t} d t}$$

$$$\frac{1}{t}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{t} d t} = \ln{\left(\left|{t}\right| \right)}$$$ です:

$$\frac{\ln{\left(\left|{t - 1}\right| \right)}}{2} + \frac{\ln{\left(\left|{t + 1}\right| \right)}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{1}{t} d t}}} = \frac{\ln{\left(\left|{t - 1}\right| \right)}}{2} + \frac{\ln{\left(\left|{t + 1}\right| \right)}}{2} - {\color{red}{\ln{\left(\left|{t}\right| \right)}}}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{t^{3} - t} d t} = - \ln{\left(\left|{t}\right| \right)} + \frac{\ln{\left(\left|{t - 1}\right| \right)}}{2} + \frac{\ln{\left(\left|{t + 1}\right| \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{t^{3} - t} d t} = - \ln{\left(\left|{t}\right| \right)} + \frac{\ln{\left(\left|{t - 1}\right| \right)}}{2} + \frac{\ln{\left(\left|{t + 1}\right| \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{1}{t^{3} - t}\, dt = \left(- \ln\left(\left|{t}\right|\right) + \frac{\ln\left(\left|{t - 1}\right|\right)}{2} + \frac{\ln\left(\left|{t + 1}\right|\right)}{2}\right) + C$$$A