$$$\frac{17 \sqrt{2}}{8 x \ln\left(x\right)}$$$の積分

$$$\int \frac{17 \sqrt{2}}{8 x \ln\left(x\right)}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{17 \sqrt{2}}{8}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x \ln{\left(x \right)}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{17 \sqrt{2}}{8 x \ln{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{17 \sqrt{2} \int{\frac{1}{x \ln{\left(x \right)}} d x}}{8}\right)}}$$

$$$u=\ln{\left(x \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{x}$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{dx}{x} = du$$$ となります。

したがって、

$$\frac{17 \sqrt{2} {\color{red}{\int{\frac{1}{x \ln{\left(x \right)}} d x}}}}{8} = \frac{17 \sqrt{2} {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{8}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$\frac{17 \sqrt{2} {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{8} = \frac{17 \sqrt{2} {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{8}$$

次のことを思い出してください $$$u=\ln{\left(x \right)}$$$:

$$\frac{17 \sqrt{2} \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{8} = \frac{17 \sqrt{2} \ln{\left(\left|{{\color{red}{\ln{\left(x \right)}}}}\right| \right)}}{8}$$

したがって、

$$\int{\frac{17 \sqrt{2}}{8 x \ln{\left(x \right)}} d x} = \frac{17 \sqrt{2} \ln{\left(\left|{\ln{\left(x \right)}}\right| \right)}}{8}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{17 \sqrt{2}}{8 x \ln{\left(x \right)}} d x} = \frac{17 \sqrt{2} \ln{\left(\left|{\ln{\left(x \right)}}\right| \right)}}{8}+C$$

$$$\int \frac{17 \sqrt{2}}{8 x \ln\left(x\right)}\, dx = \frac{17 \sqrt{2} \ln\left(\left|{\ln\left(x\right)}\right|\right)}{8} + C$$$A