$$$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$$$の積分

$$$\int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\, dx$$$ を求めよ。

分子の次数が分母の次数以上であるため、多項式の長除法を行います（手順は»で確認できます）:

$${\color{red}{\int{\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(1 + \frac{2}{x^{2} - 1}\right)d x}}}$$

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(1 + \frac{2}{x^{2} - 1}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d x} + \int{\frac{2}{x^{2} - 1} d x}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$\int{\frac{2}{x^{2} - 1} d x} + {\color{red}{\int{1 d x}}} = \int{\frac{2}{x^{2} - 1} d x} + {\color{red}{x}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} - 1}$$$ に対して適用する:

$$x + {\color{red}{\int{\frac{2}{x^{2} - 1} d x}}} = x + {\color{red}{\left(2 \int{\frac{1}{x^{2} - 1} d x}\right)}}$$

部分分数分解を行う (手順は»で確認できます):

$$x + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} - 1} d x}}} = x + 2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\right)d x}}}$$

項別に積分せよ:

$$x + 2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\right)d x}}} = x + 2 {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{2 \left(x - 1\right)} d x} - \int{\frac{1}{2 \left(x + 1\right)} d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 1}$$$ に対して適用する:

$$x - 2 \int{\frac{1}{2 \left(x + 1\right)} d x} + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \left(x - 1\right)} d x}}} = x - 2 \int{\frac{1}{2 \left(x + 1\right)} d x} + 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{x - 1} d x}}{2}\right)}}$$

$$$u=x - 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(x - 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$x - 2 \int{\frac{1}{2 \left(x + 1\right)} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{x - 1} d x}}} = x - 2 \int{\frac{1}{2 \left(x + 1\right)} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$x - 2 \int{\frac{1}{2 \left(x + 1\right)} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = x - 2 \int{\frac{1}{2 \left(x + 1\right)} d x} + {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x - 1$$$:

$$x + \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} - 2 \int{\frac{1}{2 \left(x + 1\right)} d x} = x + \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 1\right)}}}\right| \right)} - 2 \int{\frac{1}{2 \left(x + 1\right)} d x}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 1}$$$ に対して適用する:

$$x + \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \left(x + 1\right)} d x}}} = x + \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} - 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{x + 1} d x}}{2}\right)}}$$

$$$u=x + 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(x + 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。

したがって、

$$x + \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{x + 1} d x}}} = x + \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$x + \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = x + \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} - {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x + 1$$$:

$$x + \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} - \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = x + \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x + 1\right)}}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} d x} = x + \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} - \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} d x} = x + \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} - \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\, dx = \left(x + \ln\left(\left|{x - 1}\right|\right) - \ln\left(\left|{x + 1}\right|\right)\right) + C$$$A