$$$\left(1 - \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\right)^{2} \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}$$$の積分

$$$\int \left(1 - \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\right)^{2} \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}\, dt$$$ を求めよ。

$$$u=1 - \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(1 - \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\right)^{\prime }dt = - \frac{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{2} dt$$$（手順は»で確認できます）、$$$\cos{\left(\frac{t}{2} \right)} dt = - 2 du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\left(1 - \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\right)^{2} \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} d t}}} = {\color{red}{\int{\left(- 2 u^{2}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-2$$$ と $$$f{\left(u \right)} = u^{2}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- 2 u^{2}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- 2 \int{u^{2} d u}\right)}}$$

$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- 2 {\color{red}{\int{u^{2} d u}}}=- 2 {\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- 2 {\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=1 - \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}$$$:

$$- \frac{2 {\color{red}{u}}^{3}}{3} = - \frac{2 {\color{red}{\left(1 - \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\right)}}^{3}}{3}$$

したがって、

$$\int{\left(1 - \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\right)^{2} \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} d t} = - \frac{2 \left(1 - \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\right)^{3}}{3}$$

簡単化せよ:

$$\int{\left(1 - \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\right)^{2} \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} d t} = \frac{2 \left(\sin{\left(\frac{t}{2} \right)} - 1\right)^{3}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(1 - \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\right)^{2} \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} d t} = \frac{2 \left(\sin{\left(\frac{t}{2} \right)} - 1\right)^{3}}{3}+C$$

$$$\int \left(1 - \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\right)^{2} \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}\, dt = \frac{2 \left(\sin{\left(\frac{t}{2} \right)} - 1\right)^{3}}{3} + C$$$A