$$$y = x^{3} - 3 x + 2$$$ の $$$x = 2$$$ における接線

関数 $$$y = x^{3} - 3 x + 2$$$ の $$$x = 2$$$ における接線を求めてください。

$$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 3 x + 2$$$ と $$$x_{0} = 2$$$ が与えられている。

与えられた点における関数の値を求めなさい: $$$y_{0} = f{\left(2 \right)} = 4$$$。

$$$x = x_{0}$$$ における接線の傾きは、関数の導関数の $$$x = x_{0}$$$ における値に等しい：$$$M{\left(x_{0} \right)} = f^{\prime }\left(x_{0}\right)$$$。

導関数を求めよ: $$$f^{\prime }\left(x\right) = \left(x^{3} - 3 x + 2\right)^{\prime } = 3 x^{2} - 3$$$ (手順は 微分計算機 を参照).

したがって、$$$M{\left(x_{0} \right)} = f^{\prime }\left(x_{0}\right) = 3 x_{0}^{2} - 3$$$。

次に、与えられた点での傾きを求めます。

$$$m = M{\left(2 \right)} = 9$$$

最後に、接線の方程式は$$$y - y_{0} = m \left(x - x_{0}\right)$$$です。

求めた値を代入すると、$$$y - 4 = 9 \left(x - 2\right)$$$ が得られる。

または、より簡単に言えば：$$$y = 9 x - 14$$$。

接線の方程式は$$$y = 9 x - 14$$$Aです。