双曲線 $$$- 16 x^{2} + 9 y^{2} = 144$$$ の性質

双曲線 $$$- 16 x^{2} + 9 y^{2} = 144$$$ の中心、焦点、頂点、共役頂点、実軸の長さ、半実軸の長さ、虚軸の長さ、半虚軸の長さ、通径、通径の長さ（焦点弦の長さ）、焦点パラメータ（準通径）、離心率、線離心距離（焦点距離）、準線、漸近線、x切片、y切片、定義域、値域を求めよ。

双曲線の方程式は$$$\frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} - \frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} = 1$$$であり、$$$\left(h, k\right)$$$は中心、$$$a$$$と$$$b$$$は半長軸および半短軸の長さです。

この形の双曲線は$$$\frac{\left(y - 0\right)^{2}}{16} - \frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} = 1$$$です。

したがって、$$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = 4$$$。

標準形は$$$\frac{y^{2}}{4^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$です。

頂点形式は $$$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$ です。

一般形は$$$16 x^{2} - 9 y^{2} + 144 = 0$$$です。

離心距離（焦点距離）は $$$c = \sqrt{b^{2} + a^{2}} = 5$$$ です。

離心率は$$$e = \frac{c}{b} = \frac{5}{4}$$$です。

第一焦点は$$$\left(h, k - c\right) = \left(0, -5\right)$$$です。

第2焦点は$$$\left(h, k + c\right) = \left(0, 5\right)$$$です。

最初の頂点は $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -4\right)$$$ です。

第2の頂点は$$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 4\right)$$$です。

第1の副頂点は$$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$です。

2つ目の副頂点は$$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$です。

長軸の長さは$$$2 b = 8$$$です。

短軸の長さは$$$2 a = 6$$$です。

焦点パラメータは、焦点と準線の距離である: $$$\frac{a^{2}}{c} = \frac{9}{5}$$$

準通径は、各焦点を通り、短軸に平行な直線である。

第1通径は$$$y = -5$$$です。

第2の準弦は$$$y = 5$$$です。

第1通径の端点は、連立方程式 $$$\begin{cases} 16 x^{2} - 9 y^{2} + 144 = 0 \\ y = -5 \end{cases}$$$ を解くことで求められます（手順は 連立方程式計算機 を参照）。

第1の準弦の端点は$$$\left(- \frac{9}{4}, -5\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{4}, -5\right)$$$です。

第2の準弦の端点は、$$$\begin{cases} 16 x^{2} - 9 y^{2} + 144 = 0 \\ y = 5 \end{cases}$$$ を解くことで求められます（手順については 連立方程式計算機 を参照してください）。

第2の準通径の端点は$$$\left(- \frac{9}{4}, 5\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{4}, 5\right)$$$です。

準直径（焦点弦）の長さは $$$\frac{2 a^{2}}{b} = \frac{9}{2}$$$ です。

第一の準線は$$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = - \frac{16}{5}$$$です。

第二の準線は$$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = \frac{16}{5}$$$です。

第1の漸近線は$$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - \frac{4 x}{3}$$$です。

第2の漸近線は $$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = \frac{4 x}{3}$$$ です。

x切片は、方程式で$$$y = 0$$$とおき、$$$x$$$について解くことで求められます（手順はintercepts calculatorを参照）。

実数解が存在しないため、x切片は存在しません。

y切片は、方程式で$$$x = 0$$$とおき、$$$y$$$について解くことで求められます（手順はintercepts calculatorを参照してください）。

y切片: $$$\left(0, -4\right)$$$, $$$\left(0, 4\right)$$$

標準形/方程式: $$$\frac{y^{2}}{4^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$A.

頂点形/方程式: $$$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$A.

一般形/方程式: $$$16 x^{2} - 9 y^{2} + 144 = 0$$$A.

第1の焦点・準線の形/方程式: $$$x^{2} + \left(y + 5\right)^{2} = \frac{25 \left(y + \frac{16}{5}\right)^{2}}{16}$$$A

第2の焦点-準線の形/方程式: $$$x^{2} + \left(y - 5\right)^{2} = \frac{25 \left(y - \frac{16}{5}\right)^{2}}{16}$$$A.

グラフ：graphing calculatorを参照してください。

中心: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

第一焦点: $$$\left(0, -5\right)$$$A.

第二焦点: $$$\left(0, 5\right)$$$A.

最初の頂点: $$$\left(0, -4\right)$$$A。

第2の頂点: $$$\left(0, 4\right)$$$A.

第1副頂点：$$$\left(-3, 0\right)$$$A。

第2の副頂点：$$$\left(3, 0\right)$$$A。

長軸（実軸）の長さ: $$$8$$$A.

長半径の長さ: $$$4$$$A.

短軸（共役軸）の長さ: $$$6$$$A.

短半径の長さ: $$$3$$$A.

第1準弦: $$$y = -5$$$A.

第二準弦: $$$y = 5$$$A.

第1の通径の端点: $$$\left(- \frac{9}{4}, -5\right) = \left(-2.25, -5\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{4}, -5\right) = \left(2.25, -5\right)$$$A。

第2通径の両端点: $$$\left(- \frac{9}{4}, 5\right) = \left(-2.25, 5\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{4}, 5\right) = \left(2.25, 5\right)$$$A.

準通径（焦点幅）の長さ: $$$\frac{9}{2} = 4.5$$$A

準通径: $$$\frac{9}{5} = 1.8$$$A.

離心率：$$$\frac{5}{4} = 1.25$$$A。

線離心率（焦点距離）: $$$5$$$A.

第1の準線: $$$y = - \frac{16}{5} = -3.2$$$A.

第2の準線: $$$y = \frac{16}{5} = 3.2$$$A.

第1の漸近線: $$$y = - \frac{4 x}{3}\approx - 1.333333333333333 x$$$A。

第二の漸近線：$$$y = \frac{4 x}{3}\approx 1.333333333333333 x$$$A。

x切片: x切片なし.

y切片：$$$\left(0, -4\right)$$$, $$$\left(0, 4\right)$$$A。

定義域: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.

値域：$$$\left(-\infty, -4\right] \cup \left[4, \infty\right)$$$A。