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楕円$$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$の性質
入力内容
楕円 $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$ の中心、焦点、頂点、共役頂点、長軸の長さ、長半軸の長さ、短軸の長さ、短半軸の長さ、面積、周長、準弦、準弦の長さ（焦点幅）、準半径、離心率、線離心率（焦点距離）、準線、x切片、y切片、定義域、および値域を求めよ。
解答
楕円の方程式は$$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$であり、$$$\left(h, k\right)$$$は中心、$$$b$$$と$$$a$$$は半長軸および半短軸の長さです。
この形の楕円は$$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{4} + \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{5} = 1$$$です。
したがって、$$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 2$$$, $$$b = \sqrt{5}$$$。
標準形は$$$\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}} = 1$$$です。
頂点形式は $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$ です。
一般形は$$$5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0$$$です。
離心距離（焦点距離）は $$$c = \sqrt{b^{2} - a^{2}} = 1$$$ です。
離心率は$$$e = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$$です。
第一焦点は$$$\left(h, k - c\right) = \left(0, -1\right)$$$です。
第2焦点は$$$\left(h, k + c\right) = \left(0, 1\right)$$$です。
最初の頂点は $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, - \sqrt{5}\right)$$$ です。
第2の頂点は$$$\left(h, k + b\right) = \left(0, \sqrt{5}\right)$$$です。
第1の副頂点は$$$\left(h - a, k\right) = \left(-2, 0\right)$$$です。
2つ目の副頂点は$$$\left(h + a, k\right) = \left(2, 0\right)$$$です。
長軸の長さは$$$2 b = 2 \sqrt{5}$$$です。
短軸の長さは$$$2 a = 4$$$です。
面積は$$$\pi a b = 2 \sqrt{5} \pi$$$です。
円周は$$$4 b E\left(\frac{\pi}{2}\middle| e^{2}\right) = 4 \sqrt{5} E\left(\frac{1}{5}\right)$$$です。
焦点パラメータは、焦点と準線の距離である: $$$\frac{a^{2}}{c} = 4$$$
準通径は、各焦点を通り、短軸に平行な直線である。
第1通径は$$$y = -1$$$です。
第2の準弦は$$$y = 1$$$です。
第1通径の端点は、連立方程式 $$$\begin{cases} 5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0 \\ y = -1 \end{cases}$$$ を解くことで求められます（手順は 連立方程式計算機 を参照）。
第1の準弦の端点は$$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)$$$です。
第2の準弦の端点は、$$$\begin{cases} 5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0 \\ y = 1 \end{cases}$$$ を解くことで求められます（手順については 連立方程式計算機 を参照してください）。
第2の準通径の端点は$$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)$$$です。
準直径（焦点弦）の長さは $$$\frac{2 a^{2}}{b} = \frac{8 \sqrt{5}}{5}$$$ です。
第一の準線は$$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = -5$$$です。
第二の準線は$$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = 5$$$です。
x切片は、方程式で$$$y = 0$$$とおき、$$$x$$$について解くことで求められます（手順はintercepts calculatorを参照）。
x切片: $$$\left(-2, 0\right)$$$, $$$\left(2, 0\right)$$$
y切片は、方程式で$$$x = 0$$$とおき、$$$y$$$について解くことで求められます（手順はintercepts calculatorを参照してください）。
y切片: $$$\left(0, - \sqrt{5}\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{5}\right)$$$
定義域は$$$\left[h - a, h + a\right] = \left[-2, 2\right]$$$です。
値域は$$$\left[k - b, k + b\right] = \left[- \sqrt{5}, \sqrt{5}\right]$$$です。
解答
標準形/方程式: $$$\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}} = 1$$$A.
頂点形/方程式: $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$A.
一般形/方程式: $$$5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0$$$A.
第1の焦点・準線の形/方程式: $$$x^{2} + \left(y + 1\right)^{2} = \frac{\left(y + 5\right)^{2}}{5}$$$A
第2の焦点-準線の形/方程式: $$$x^{2} + \left(y - 1\right)^{2} = \frac{\left(y - 5\right)^{2}}{5}$$$A.
グラフ：graphing calculatorを参照してください。
中心: $$$\left(0, 0\right)$$$A.
第一焦点: $$$\left(0, -1\right)$$$A.
第二焦点: $$$\left(0, 1\right)$$$A.
最初の頂点: $$$\left(0, - \sqrt{5}\right)\approx \left(0, -2.23606797749979\right)$$$A。
第2の頂点: $$$\left(0, \sqrt{5}\right)\approx \left(0, 2.23606797749979\right)$$$A.
第1副頂点：$$$\left(-2, 0\right)$$$A。
第2の副頂点：$$$\left(2, 0\right)$$$A。
長軸の長さ: $$$2 \sqrt{5}\approx 4.472135954999579$$$A.
長半径の長さ: $$$\sqrt{5}\approx 2.23606797749979$$$A.
短軸の長さ: $$$4$$$A.
短半径の長さ: $$$2$$$A.
面積：$$$2 \sqrt{5} \pi\approx 14.049629462081453$$$A。
円周：$$$4 \sqrt{5} E\left(\frac{1}{5}\right)\approx 13.318334443130703$$$A。
第1準弦: $$$y = -1$$$A.
第二準弦: $$$y = 1$$$A.
第1の通径の端点: $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)\approx \left(-1.788854381999832, -1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)\approx \left(1.788854381999832, -1\right)$$$A。
第2通径の両端点: $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)\approx \left(-1.788854381999832, 1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)\approx \left(1.788854381999832, 1\right)$$$A.
準通径（焦点幅）の長さ: $$$\frac{8 \sqrt{5}}{5}\approx 3.577708763999664$$$A
準通径: $$$4$$$A.
離心率：$$$\frac{\sqrt{5}}{5}\approx 0.447213595499958$$$A。
線離心率（焦点距離）: $$$1$$$A.
第1の準線: $$$y = -5$$$A.
第2の準線: $$$y = 5$$$A.
x切片: $$$\left(-2, 0\right)$$$, $$$\left(2, 0\right)$$$A.
y切片：$$$\left(0, - \sqrt{5}\right)\approx \left(0, -2.23606797749979\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{5}\right)\approx \left(0, 2.23606797749979\right)$$$A。
定義域: $$$\left[-2, 2\right]$$$A.
値域：$$$\left[- \sqrt{5}, \sqrt{5}\right]\approx \left[-2.23606797749979, 2.23606797749979\right]$$$A。