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Seconda derivata di $$$\tan^{2}{\left(x \right)}$$$
Calcolatrici correlate: Calcolatore di derivate, Calcolatrice di derivazione logaritmica
Il tuo input
Trova $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\tan^{2}{\left(x \right)}\right)$$$.
Soluzione
Trova la derivata prima $$$\frac{d}{dx} \left(\tan^{2}{\left(x \right)}\right)$$$
La funzione $$$\tan^{2}{\left(x \right)}$$$ è la composizione $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ di due funzioni $$$f{\left(u \right)} = u^{2}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$$$.
Applica la regola della catena $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\tan^{2}{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{2}\right) \frac{d}{dx} \left(\tan{\left(x \right)}\right)\right)}$$Applica la regola della potenza $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ con $$$n = 2$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{2}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\tan{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(2 u\right)} \frac{d}{dx} \left(\tan{\left(x \right)}\right)$$Torna alla variabile originale:
$$2 {\color{red}\left(u\right)} \frac{d}{dx} \left(\tan{\left(x \right)}\right) = 2 {\color{red}\left(\tan{\left(x \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(\tan{\left(x \right)}\right)$$La derivata della tangente è $$$\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(x \right)}\right) = \sec^{2}{\left(x \right)}$$$:
$$2 \tan{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(x \right)}\right)\right)} = 2 \tan{\left(x \right)} {\color{red}\left(\sec^{2}{\left(x \right)}\right)}$$Quindi, $$$\frac{d}{dx} \left(\tan^{2}{\left(x \right)}\right) = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}$$$.
Successivamente, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\tan^{2}{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\right)$$$
Applica la regola del multiplo costante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ con $$$c = 2$$$ e $$$f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(\tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\right)\right)}$$Applica la regola del prodotto $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ a $$$f{\left(x \right)} = \sec^{2}{\left(x \right)}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$$$:
$$2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\right)\right)} = 2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sec^{2}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(\tan{\left(x \right)}\right)\right)}$$La derivata della tangente è $$$\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(x \right)}\right) = \sec^{2}{\left(x \right)}$$$:
$$2 \tan{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(\sec^{2}{\left(x \right)}\right) + 2 \sec^{2}{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(x \right)}\right)\right)} = 2 \tan{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(\sec^{2}{\left(x \right)}\right) + 2 \sec^{2}{\left(x \right)} {\color{red}\left(\sec^{2}{\left(x \right)}\right)}$$La funzione $$$\sec^{2}{\left(x \right)}$$$ è la composizione $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ di due funzioni $$$f{\left(u \right)} = u^{2}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = \sec{\left(x \right)}$$$.
Applica la regola della catena $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$$2 \tan{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sec^{2}{\left(x \right)}\right)\right)} + 2 \sec^{4}{\left(x \right)} = 2 \tan{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{2}\right) \frac{d}{dx} \left(\sec{\left(x \right)}\right)\right)} + 2 \sec^{4}{\left(x \right)}$$Applica la regola della potenza $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ con $$$n = 2$$$:
$$2 \tan{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{2}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\sec{\left(x \right)}\right) + 2 \sec^{4}{\left(x \right)} = 2 \tan{\left(x \right)} {\color{red}\left(2 u\right)} \frac{d}{dx} \left(\sec{\left(x \right)}\right) + 2 \sec^{4}{\left(x \right)}$$Torna alla variabile originale:
$$4 \tan{\left(x \right)} {\color{red}\left(u\right)} \frac{d}{dx} \left(\sec{\left(x \right)}\right) + 2 \sec^{4}{\left(x \right)} = 4 \tan{\left(x \right)} {\color{red}\left(\sec{\left(x \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(\sec{\left(x \right)}\right) + 2 \sec^{4}{\left(x \right)}$$La derivata della secante è $$$\frac{d}{dx} \left(\sec{\left(x \right)}\right) = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}$$$:
$$4 \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sec{\left(x \right)}\right)\right)} + 2 \sec^{4}{\left(x \right)} = 4 \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} {\color{red}\left(\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}\right)} + 2 \sec^{4}{\left(x \right)}$$Semplifica:
$$4 \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 2 \sec^{4}{\left(x \right)} = \left(-4 + \frac{6}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) \sec^{2}{\left(x \right)}$$Quindi, $$$\frac{d}{dx} \left(2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\right) = \left(-4 + \frac{6}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) \sec^{2}{\left(x \right)}$$$.
Pertanto, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\tan^{2}{\left(x \right)}\right) = \left(-4 + \frac{6}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) \sec^{2}{\left(x \right)}$$$.
Risposta
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\tan^{2}{\left(x \right)}\right) = \left(-4 + \frac{6}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) \sec^{2}{\left(x \right)}$$$A