Calculatrice de sommes de Riemann pour une fonction

Approximez l’intégrale $$$\int\limits_{0}^{2} \sqrt[3]{x^{4} + 1}\, dx$$$ à l’aide de la somme de Riemann à gauche avec $$$n = 4$$$.

La somme de Riemann à gauche (également appelée approximation par extrémité gauche) utilise l’extrémité gauche d’un sous-intervalle pour calculer la hauteur du rectangle approximant :

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$$$

où $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Nous avons $$$f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x^{4} + 1}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 2$$$ et $$$n = 4$$$.

Donc, $$$\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2}$$$.

Divisez l’intervalle $$$\left[0, 2\right]$$$ en $$$n = 4$$$ sous-intervalles de longueur $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$ avec les points d’extrémité suivants : $$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{2}$$$, $$$1$$$, $$$\frac{3}{2}$$$, $$$2 = b$$$.

Maintenant, il suffit d’évaluer la fonction aux bornes gauches des sous-intervalles.

$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = 1$$$

$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{\sqrt[3]{17} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{4}\approx 1.020413775479337$$$

$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(1 \right)} = \sqrt[3]{2}\approx 1.259921049894873$$$

$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{3}{2} \right)} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{97}}{4}\approx 1.82340825744217$$$

Enfin, additionnez simplement les valeurs ci-dessus et multipliez par $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$ : $$$\frac{1}{2} \left(1 + 1.020413775479337 + 1.259921049894873 + 1.82340825744217\right) = 2.55187154140819.$$$

$$$\int\limits_{0}^{2} \sqrt[3]{x^{4} + 1}\, dx\approx 2.55187154140819$$$A