Intégrale de $$$x^{3} y$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int x^{3} y\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=y$$$ et $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$ :

$${\color{red}{\int{x^{3} y d x}}} = {\color{red}{y \int{x^{3} d x}}}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=3$$$ :

$$y {\color{red}{\int{x^{3} d x}}}=y {\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}=y {\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}$$

Par conséquent,

$$\int{x^{3} y d x} = \frac{x^{4} y}{4}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{x^{3} y d x} = \frac{x^{4} y}{4}+C$$

$$$\int x^{3} y\, dx = \frac{x^{4} y}{4} + C$$$A