Intégrale de $$$\sin{\left(2 \right)} \tanh{\left(\eta \right)}$$$

Déterminez $$$\int \sin{\left(2 \right)} \tanh{\left(\eta \right)}\, d\eta$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(\eta \right)}\, d\eta = c \int f{\left(\eta \right)}\, d\eta$$$ avec $$$c=\sin{\left(2 \right)}$$$ et $$$f{\left(\eta \right)} = \tanh{\left(\eta \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\sin{\left(2 \right)} \tanh{\left(\eta \right)} d \eta}}} = {\color{red}{\sin{\left(2 \right)} \int{\tanh{\left(\eta \right)} d \eta}}}$$

Réécrivez la tangente hyperbolique sous la forme $$$\tanh\left(\eta\right)=\frac{\sinh\left(\eta\right)}{\cosh\left(\eta\right)}$$$:

$$\sin{\left(2 \right)} {\color{red}{\int{\tanh{\left(\eta \right)} d \eta}}} = \sin{\left(2 \right)} {\color{red}{\int{\frac{\sinh{\left(\eta \right)}}{\cosh{\left(\eta \right)}} d \eta}}}$$

Soit $$$u=\cosh{\left(\eta \right)}$$$.

Alors $$$du=\left(\cosh{\left(\eta \right)}\right)^{\prime }d\eta = \sinh{\left(\eta \right)} d\eta$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\sinh{\left(\eta \right)} d\eta = du$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$$\sin{\left(2 \right)} {\color{red}{\int{\frac{\sinh{\left(\eta \right)}}{\cosh{\left(\eta \right)}} d \eta}}} = \sin{\left(2 \right)} {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{u}$$$ est $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ :

$$\sin{\left(2 \right)} {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = \sin{\left(2 \right)} {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=\cosh{\left(\eta \right)}$$$ :

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} \sin{\left(2 \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\cosh{\left(\eta \right)}}}}\right| \right)} \sin{\left(2 \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\sin{\left(2 \right)} \tanh{\left(\eta \right)} d \eta} = \ln{\left(\cosh{\left(\eta \right)} \right)} \sin{\left(2 \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\sin{\left(2 \right)} \tanh{\left(\eta \right)} d \eta} = \ln{\left(\cosh{\left(\eta \right)} \right)} \sin{\left(2 \right)}+C$$

$$$\int \sin{\left(2 \right)} \tanh{\left(\eta \right)}\, d\eta = \ln\left(\cosh{\left(\eta \right)}\right) \sin{\left(2 \right)} + C$$$A