Intégrale de $$$\frac{\sqrt{- a^{2} + x^{2}}}{x}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int \frac{\sqrt{- a^{2} + x^{2}}}{x}\, dx$$$.

Soit $$$x=\cosh{\left(u \right)} \left|{a}\right|$$$.

Alors $$$dx=\left(\cosh{\left(u \right)} \left|{a}\right|\right)^{\prime }du = \sinh{\left(u \right)} \left|{a}\right| du$$$ (les étapes peuvent être vues »).

De plus, il s'ensuit que $$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}$$$.

Ainsi,

$$$\frac{\sqrt{- a^{2} + x^{2}}}{x} = \frac{\sqrt{a^{2} \cosh^{2}{\left( u \right)} - a^{2}}}{\cosh{\left( u \right)} \left|{a}\right|}$$$

Utilisez l'identité $$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$ :

$$$\frac{\sqrt{a^{2} \cosh^{2}{\left( u \right)} - a^{2}}}{\cosh{\left( u \right)} \left|{a}\right|}=\frac{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}{\cosh{\left( u \right)}}=\frac{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}}{\cosh{\left( u \right)}}$$$

En supposant que $$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$, nous obtenons ce qui suit :

$$$\frac{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}}{\cosh{\left( u \right)}} = \frac{\sinh{\left( u \right)}}{\cosh{\left( u \right)}}$$$

Donc,

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{- a^{2} + x^{2}}}{x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sinh^{2}{\left(u \right)} \left|{a}\right|}{\cosh{\left(u \right)}} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\left|{a}\right|$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \frac{\sinh^{2}{\left(u \right)}}{\cosh{\left(u \right)}}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{\sinh^{2}{\left(u \right)} \left|{a}\right|}{\cosh{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\left|{a}\right| \int{\frac{\sinh^{2}{\left(u \right)}}{\cosh{\left(u \right)}} d u}}}$$

Multipliez le numérateur et le dénominateur par un cosinus hyperbolique et écrivez tout le reste en fonction du sinus hyperbolique, en utilisant la formule $$$\cosh^2\left(\alpha \right)=\sinh^2\left(\alpha \right)+1$$$ avec $$$\alpha= u $$$:

$$\left|{a}\right| {\color{red}{\int{\frac{\sinh^{2}{\left(u \right)}}{\cosh{\left(u \right)}} d u}}} = \left|{a}\right| {\color{red}{\int{\frac{\sinh^{2}{\left(u \right)} \cosh{\left(u \right)}}{\sinh^{2}{\left(u \right)} + 1} d u}}}$$

Soit $$$v=\sinh{\left(u \right)}$$$.

Alors $$$dv=\left(\sinh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \cosh{\left(u \right)} du$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\cosh{\left(u \right)} du = dv$$$.

L’intégrale devient

$$\left|{a}\right| {\color{red}{\int{\frac{\sinh^{2}{\left(u \right)} \cosh{\left(u \right)}}{\sinh^{2}{\left(u \right)} + 1} d u}}} = \left|{a}\right| {\color{red}{\int{\frac{v^{2}}{v^{2} + 1} d v}}}$$

Réécrire et décomposer la fraction:

$$\left|{a}\right| {\color{red}{\int{\frac{v^{2}}{v^{2} + 1} d v}}} = \left|{a}\right| {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{v^{2} + 1}\right)d v}}}$$

Intégrez terme à terme:

$$\left|{a}\right| {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{v^{2} + 1}\right)d v}}} = \left|{a}\right| {\color{red}{\left(\int{1 d v} - \int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}\right)}}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, dv = c v$$$ avec $$$c=1$$$:

$$\left|{a}\right| \left(- \int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} + {\color{red}{\int{1 d v}}}\right) = \left|{a}\right| \left(- \int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} + {\color{red}{v}}\right)$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{v^{2} + 1}$$$ est $$$\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} = \operatorname{atan}{\left(v \right)}$$$ :

$$\left|{a}\right| \left(v - {\color{red}{\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}}}\right) = \left|{a}\right| \left(v - {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(v \right)}}}\right)$$

Rappelons que $$$v=\sinh{\left(u \right)}$$$ :

$$\left|{a}\right| \left(- \operatorname{atan}{\left({\color{red}{v}} \right)} + {\color{red}{v}}\right) = \left|{a}\right| \left(- \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\sinh{\left(u \right)}}} \right)} + {\color{red}{\sinh{\left(u \right)}}}\right)$$

Rappelons que $$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}$$$ :

$$\left|{a}\right| \left(\sinh{\left({\color{red}{u}} \right)} - \operatorname{atan}{\left(\sinh{\left({\color{red}{u}} \right)} \right)}\right) = \left|{a}\right| \left(\sinh{\left({\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}} \right)} - \operatorname{atan}{\left(\sinh{\left({\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}} \right)} \right)}\right)$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{\sqrt{- a^{2} + x^{2}}}{x} d x} = \left(\sqrt{\frac{x}{\left|{a}\right|} - 1} \sqrt{\frac{x}{\left|{a}\right|} + 1} - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\frac{x}{\left|{a}\right|} - 1} \sqrt{\frac{x}{\left|{a}\right|} + 1} \right)}\right) \left|{a}\right|$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{\sqrt{- a^{2} + x^{2}}}{x} d x} = \left(\sqrt{\frac{x}{\left|{a}\right|} - 1} \sqrt{\frac{x}{\left|{a}\right|} + 1} - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\frac{x}{\left|{a}\right|} - 1} \sqrt{\frac{x}{\left|{a}\right|} + 1} \right)}\right) \left|{a}\right|+C$$

$$$\int \frac{\sqrt{- a^{2} + x^{2}}}{x}\, dx = \left(\sqrt{\frac{x}{\left|{a}\right|} - 1} \sqrt{\frac{x}{\left|{a}\right|} + 1} - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\frac{x}{\left|{a}\right|} - 1} \sqrt{\frac{x}{\left|{a}\right|} + 1} \right)}\right) \left|{a}\right| + C$$$A