Intégrale de $$$\frac{1}{\sqrt{x} \csc{\left(\sqrt{x} \right)}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{1}{\sqrt{x} \csc{\left(\sqrt{x} \right)}}\, dx$$$.

Soit $$$u=\sqrt{x}$$$.

Alors $$$du=\left(\sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$$$.

Donc,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{x} \csc{\left(\sqrt{x} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{\csc{\left(u \right)}} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=2$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\csc{\left(u \right)}}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{2}{\csc{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{1}{\csc{\left(u \right)}} d u}\right)}}$$

Réécrivez l'intégrande en fonction du sinus.:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{\csc{\left(u \right)}} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}$$

L’intégrale du sinus est $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$ :

$$2 {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = 2 {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

Rappelons que $$$u=\sqrt{x}$$$ :

$$- 2 \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - 2 \cos{\left({\color{red}{\sqrt{x}}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x} \csc{\left(\sqrt{x} \right)}} d x} = - 2 \cos{\left(\sqrt{x} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x} \csc{\left(\sqrt{x} \right)}} d x} = - 2 \cos{\left(\sqrt{x} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{x} \csc{\left(\sqrt{x} \right)}}\, dx = - 2 \cos{\left(\sqrt{x} \right)} + C$$$A