$$$\left[\begin{array}{cc}5 & 11\\11 & 25\end{array}\right]$$$:n ominaisarvot ja ominaisvektorit

Määritä matriisin $$$\left[\begin{array}{cc}5 & 11\\11 & 25\end{array}\right]$$$ ominaisarvot ja ominaisvektorit.

Aloita muodostamalla uusi matriisi vähentämällä annetun matriisin diagonaalialkioista $$$\lambda$$$: $$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right]$$$.

Saadun matriisin determinantti on $$$\lambda^{2} - 30 \lambda + 4$$$ (vaiheista, katso determinanttilaskin).

Ratkaise yhtälö $$$\lambda^{2} - 30 \lambda + 4 = 0$$$.

Juuret ovat $$$\lambda_{1} = 15 - \sqrt{221}$$$, $$$\lambda_{2} = \sqrt{221} + 15$$$ (ratkaisuvaiheista katso yhtälönratkaisija).

Nämä ovat ominaisarvot.

Seuraavaksi etsi ominaisvektorit.

• $$$\lambda = 15 - \sqrt{221}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-10 + \sqrt{221} & 11\\11 & 10 + \sqrt{221}\end{array}\right]$$$

  Tämän matriisin nollatila on $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (vaiheet: katso nollatilan laskin).

  Tämä on ominaisvektori.

• $$$\lambda = \sqrt{221} + 15$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \sqrt{221} - 10 & 11\\11 & 10 - \sqrt{221}\end{array}\right]$$$

  Tämän matriisin nollatila on $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{-10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (vaiheet: katso nollatilan laskin).

  Tämä on ominaisvektori.

Ominaisarvo: $$$15 - \sqrt{221}\approx 0.133931252681494$$$A, kertaluku: $$$1$$$A, ominaisvektori: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-2.260551704301682\\1\end{array}\right]$$$A.

Ominaisarvo: $$$\sqrt{221} + 15\approx 29.866068747318506$$$A, kertaluku: $$$1$$$A, ominaisvektori: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{-10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}0.442369886119864\\1\end{array}\right]$$$A.