$$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$$$:n ominaisarvot ja ominaisvektorit

Määritä matriisin $$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$$$ ominaisarvot ja ominaisvektorit.

Aloita muodostamalla uusi matriisi vähentämällä annetun matriisin diagonaalialkioista $$$\lambda$$$: $$$\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right]$$$.

Saadun matriisin determinantti on $$$\left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 2\right)$$$ (vaiheista, katso determinanttilaskin).

Ratkaise yhtälö $$$\left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 2\right) = 0$$$.

Juuret ovat $$$\lambda_{1} = 1$$$, $$$\lambda_{2} = -2$$$ (ratkaisuvaiheista katso yhtälönratkaisija).

Nämä ovat ominaisarvot.

Seuraavaksi etsi ominaisvektorit.

• $$$\lambda = 1$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & -10\\1 & -5\end{array}\right]$$$

  Tämän matriisin nollatila on $$$\left\{\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (vaiheet: katso nollatilan laskin).

  Tämä on ominaisvektori.

• $$$\lambda = -2$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}3 - \lambda & -10\\1 & - \lambda - 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5 & -10\\1 & -2\end{array}\right]$$$

  Tämän matriisin nollatila on $$$\left\{\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (vaiheet: katso nollatilan laskin).

  Tämä on ominaisvektori.

Ominaisarvo: $$$1$$$A, kertaluku: $$$1$$$A, ominaisvektori: $$$\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]$$$A.

Ominaisarvo: $$$-2$$$A, kertaluku: $$$1$$$A, ominaisvektori: $$$\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]$$$A.