Funktion $$$4 \ln\left(x\right)$$$ integraali

Määritä $$$\int 4 \ln\left(x\right)\, dx$$$.

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ käyttäen $$$c=4$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{4 \ln{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(4 \int{\ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Integraalin $$$\int{\ln{\left(x \right)} d x}$$$ kohdalla käytä osittaisintegrointia $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Olkoon $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ ja $$$\operatorname{dv}=dx$$$.

Tällöin $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (vaiheet ovat nähtävissä »).

Integraali voidaan kirjoittaa muotoon

$$4 {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)} d x}}}=4 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=4 {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)} - \int{1 d x}\right)}}$$

Sovella vakiosääntöä $$$\int c\, dx = c x$$$ käyttäen $$$c=1$$$:

$$4 x \ln{\left(x \right)} - 4 {\color{red}{\int{1 d x}}} = 4 x \ln{\left(x \right)} - 4 {\color{red}{x}}$$

Näin ollen,

$$\int{4 \ln{\left(x \right)} d x} = 4 x \ln{\left(x \right)} - 4 x$$

Sievennä:

$$\int{4 \ln{\left(x \right)} d x} = 4 x \left(\ln{\left(x \right)} - 1\right)$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{4 \ln{\left(x \right)} d x} = 4 x \left(\ln{\left(x \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int 4 \ln\left(x\right)\, dx = 4 x \left(\ln\left(x\right) - 1\right) + C$$$A