Funktion $$$2 e^{- x}$$$ integraali

Määritä $$$\int 2 e^{- x}\, dx$$$.

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ käyttäen $$$c=2$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$:

$${\color{red}{\int{2 e^{- x} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{- x} d x}\right)}}$$

Olkoon $$$u=- x$$$.

Tällöin $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = - du$$$.

Siis,

$$2 {\color{red}{\int{e^{- x} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=-1$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$2 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = 2 {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Eksponenttifunktion integraali on $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

Muista, että $$$u=- x$$$:

$$- 2 e^{{\color{red}{u}}} = - 2 e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}$$

Näin ollen,

$$\int{2 e^{- x} d x} = - 2 e^{- x}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{2 e^{- x} d x} = - 2 e^{- x}+C$$

$$$\int 2 e^{- x}\, dx = - 2 e^{- x} + C$$$A