Integraali $$$\frac{x}{f}$$$:stä muuttujan $$$x$$$ suhteen

Määritä $$$\int \frac{x}{f}\, dx$$$.

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ käyttäen $$$c=\frac{1}{f}$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = x$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{x}{f} d x}}} = {\color{red}{\frac{\int{x d x}}{f}}}$$

Sovella potenssisääntöä $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ käyttäen $$$n=1$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{x d x}}}}{f}=\frac{{\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{f}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}}{f}$$

Näin ollen,

$$\int{\frac{x}{f} d x} = \frac{x^{2}}{2 f}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\frac{x}{f} d x} = \frac{x^{2}}{2 f}+C$$

$$$\int \frac{x}{f}\, dx = \frac{x^{2}}{2 f} + C$$$A