Recta tangente a $$$x{\left(t \right)} = 5 \cos{\left(2 t \right)}$$$, $$$y{\left(t \right)} = t^{\frac{7}{2}}$$$ en $$$t = \frac{\pi}{4}$$$

Calcula la recta tangente a $$$x{\left(t \right)} = 5 \cos{\left(2 t \right)}$$$, $$$y{\left(t \right)} = t^{\frac{7}{2}}$$$ en $$$t = \frac{\pi}{4}$$$.

Encuentre los valores de las coordenadas $$$x$$$ y $$$y$$$, que corresponden a la $$$t_{0} = \frac{\pi}{4}$$$ dada:

$$$x_{0} = x{\left(\frac{\pi}{4} \right)} = 0$$$

$$$y_{0} = y{\left(\frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\pi^{\frac{7}{2}}}{128}$$$

La pendiente de la recta tangente en $$$t = t_{0}$$$ es la derivada de la función, evaluada en $$$t = t_{0}$$$: $$$M{\left(t_{0} \right)} = \frac{dy}{dx}|_{\left(t = t_{0}\right)}$$$.

La derivada de una función paramétrica viene dada por $$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$$.

Para calcularlo, encuentra la derivada de $$$x$$$ con respecto a $$$t$$$: $$$\frac{dx}{dt} = - 10 \sin{\left(2 t \right)}$$$ (para conocer los pasos, consulta calculadora de derivadas).

A continuación, encuentra la derivada de $$$y$$$ con respecto a $$$t$$$: $$$\frac{dy}{dt} = \frac{7 t^{\frac{5}{2}}}{2}$$$ (para conocer los pasos, consulta calculadora de derivadas).

Por lo tanto, $$$\frac{dy}{dx} = - \frac{7 t^{\frac{5}{2}}}{20 \sin{\left(2 t \right)}}$$$.

Por lo tanto, $$$M{\left(t_{0} \right)} = \frac{dy}{dx}|_{\left(t = t_{0}\right)} = - \frac{7 t_{0}^{\frac{5}{2}}}{20 \sin{\left(2 t_{0} \right)}}$$$.

Luego, encuentre la pendiente en el punto dado.

$$$m = M{\left(\frac{\pi}{4} \right)} = - \frac{7 \pi^{\frac{5}{2}}}{640}$$$

Finalmente, la ecuación de la recta tangente es $$$y - y_{0} = m \left(x - x_{0}\right)$$$.

Conectando los valores encontrados, obtenemos que $$$y - \frac{\pi^{\frac{7}{2}}}{128} = - \frac{7 \pi^{\frac{5}{2}}}{640} \left(x - 0\right)$$$.

O, más simplemente: $$$y = - \frac{7 \pi^{\frac{5}{2}} x}{640} + \frac{\pi^{\frac{7}{2}}}{128}$$$.

La ecuación de la recta tangente es $$$y = - \frac{7 \pi^{\frac{5}{2}} x}{640} + \frac{\pi^{\frac{7}{2}}}{128}\approx 0.42935308206437 - 0.191334262958397 x.$$$A