Encuentra la parábola dada el punto $$$\left(0, 0\right)$$$, el punto $$$\left(20, 35\right)$$$, el punto $$$\left(80, 0\right)$$$

Encuentre la ecuación, el vértice, el foco, la directriz, el eje de simetría, el latus rectum, la longitud del latus rectum (ancho focal), el parámetro focal, la distancia focal, la excentricidad, las intersecciones x, las intersecciones y, el dominio y el rango de la parábola encontrado a partir de los datos proporcionados: el punto $$$\left(0, 0\right)$$$, el punto $$$\left(20, 35\right)$$$, el punto $$$\left(80, 0\right)$$$.

La ecuación de una parábola es $$$y = \frac{1}{4 \left(f - k\right)} \left(x - h\right)^{2} + k$$$, donde $$$\left(h, k\right)$$$ es el vértice y $$$\left(h, f\right)$$$ es el foco.

Dado que el punto $$$\left(0, 0\right)$$$ se encuentra en la parábola, entonces $$$0 = \frac{1}{4 \left(f - k\right)} \left(0 - h\right)^{2} + k$$$.

Dado que el punto $$$\left(20, 35\right)$$$ se encuentra en la parábola, entonces $$$35 = \frac{1}{4 \left(f - k\right)} \left(20 - h\right)^{2} + k$$$.

Dado que el punto $$$\left(80, 0\right)$$$ se encuentra en la parábola, entonces $$$0 = \frac{1}{4 \left(f - k\right)} \left(80 - h\right)^{2} + k$$$.

Resolviendo el sistema $$$\begin{cases} 0 = \frac{h^{2}}{4 f - 4 k} + k \\ 35 = k + \frac{\left(20 - h\right)^{2}}{4 f - 4 k} \\ 0 = k + \frac{\left(80 - h\right)^{2}}{4 f - 4 k} \end{cases}$$$, obtenemos esa $$$h = 40$$$, $$$k = \frac{140}{3}$$$, $$$f = \frac{800}{21}$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora del sistema de ecuaciones).

La forma estándar es $$$y = - \frac{7 x^{2}}{240} + \frac{7 x}{3}$$$.

La forma general es $$$- 7 x^{2} + 560 x - 240 y = 0$$$.

La forma del vértice es $$$y = - \frac{7 \left(x - 40\right)^{2}}{240} + \frac{140}{3}$$$.

La directriz es $$$y = d$$$.

Para encontrar $$$d$$$, usa el hecho de que la distancia del foco al vértice es la misma que la distancia del vértice a la directriz: $$$\frac{140}{3} - \frac{800}{21} = d - \frac{140}{3}$$$.

Por lo tanto, la directriz es $$$y = \frac{1160}{21}$$$.

El eje de simetría es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el vértice y el foco: $$$x = 40$$$.

La distancia focal es la distancia entre el foco y el vértice: $$$\frac{60}{7}$$$.

El parámetro focal es la distancia entre el foco y la directriz: $$$\frac{120}{7}$$$.

El latus rectum es paralelo a la directriz y pasa por el foco: $$$y = \frac{800}{21}$$$.

Los extremos del latus recto se pueden encontrar resolviendo el sistema $$$\begin{cases} - 7 x^{2} + 560 x - 240 y = 0 \\ y = \frac{800}{21} \end{cases}$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora del sistema de ecuaciones).

Los extremos del latus rectum son $$$\left(\frac{160}{7}, \frac{800}{21}\right)$$$, $$$\left(\frac{400}{7}, \frac{800}{21}\right)$$$.

La longitud del latus rectum (ancho focal) es cuatro veces la distancia entre el vértice y el foco: $$$\frac{240}{7}$$$.

La excentricidad de una parábola siempre es $$$1$$$.

Las intersecciones x se pueden encontrar configurando $$$y = 0$$$ en la ecuación y resolviendo para $$$x$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora de intersecciones).

x-intersecciones: $$$\left(0, 0\right)$$$, $$$\left(80, 0\right)$$$

Las intersecciones y se pueden encontrar configurando $$$x = 0$$$ en la ecuación y resolviendo para $$$y$$$: (para conocer los pasos, consulte calculadora de intersecciones).

intersección y: $$$\left(0, 0\right)$$$.

Forma estándar/ecuación: $$$y = - \frac{7 x^{2}}{240} + \frac{7 x}{3}$$$A.

Forma general/ecuación: $$$- 7 x^{2} + 560 x - 240 y = 0$$$A.

Forma de vértice/ecuación: $$$y = - \frac{7 \left(x - 40\right)^{2}}{240} + \frac{140}{3}$$$A.

Forma/ecuación de directriz de enfoque: $$$\left(x - 40\right)^{2} + \left(y - \frac{800}{21}\right)^{2} = \left(y - \frac{1160}{21}\right)^{2}$$$A.

Forma de intersección/ecuación: $$$y = - \frac{7 x \left(x - 80\right)}{240}$$$A.

Gráfico: consulte la calculadora gráfica.

Vértice: $$$\left(40, \frac{140}{3}\right)\approx \left(40, 46.666666666666667\right)$$$A.

Foco: $$$\left(40, \frac{800}{21}\right)\approx \left(40, 38.095238095238095\right)$$$A.

Directriz: $$$y = \frac{1160}{21}\approx 55.238095238095238$$$A.

Eje de simetría: $$$x = 40$$$A.

Latus rectum: $$$y = \frac{800}{21}\approx 38.095238095238095$$$A.

Puntos finales del latus rectum: $$$\left(\frac{160}{7}, \frac{800}{21}\right)\approx \left(22.857142857142857, 38.095238095238095\right)$$$, $$$\left(\frac{400}{7}, \frac{800}{21}\right)\approx \left(57.142857142857143, 38.095238095238095\right)$$$A.

Longitud del latus rectum (anchura focal): $$$\frac{240}{7}\approx 34.285714285714286$$$A.

Parámetro focal: $$$\frac{120}{7}\approx 17.142857142857143$$$A.

Distancia focal: $$$\frac{60}{7}\approx 8.571428571428571$$$A.

Excentricidad: $$$1$$$A.

x-intersecciones: $$$\left(0, 0\right)$$$, $$$\left(80, 0\right)$$$A

intersección y: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Dominio: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.

Rango: $$$\left(-\infty, \frac{140}{3}\right]\approx \left(-\infty, 46.666666666666667\right]$$$A.