Propiedades de la hipérbola $$$- 4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$$$

Encuentra el centro, los focos, los vértices, los covértices, la longitud del eje mayor, la longitud del semieje mayor, la longitud del eje menor, la longitud del semieje menor, los lados rectos, la longitud de los lados rectos (anchura focal), el parámetro focal, la excentricidad, la excentricidad lineal (distancia focal), las directrices, las asíntotas, las intersecciones con el eje x, las intersecciones con el eje y, el dominio y el rango de la hipérbola $$$- 4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$$$.

La ecuación de una hipérbola es $$$\frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} - \frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} = 1$$$, donde $$$\left(h, k\right)$$$ es el centro y $$$a$$$ y $$$b$$$ son las longitudes de los semiejes mayor y menor.

Nuestra hipérbola en esta forma es $$$\frac{\left(y - 0\right)^{2}}{4} - \frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} = 1$$$.

Por lo tanto, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = 2$$$.

La forma estándar es $$$\frac{y^{2}}{2^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$.

La forma de vértice es $$$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$.

La forma general es $$$4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0$$$.

La excentricidad lineal (distancia focal) es $$$c = \sqrt{b^{2} + a^{2}} = \sqrt{13}$$$.

La excentricidad es $$$e = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{13}}{2}$$$.

El primer foco es $$$\left(h, k - c\right) = \left(0, - \sqrt{13}\right)$$$.

El segundo foco es $$$\left(h, k + c\right) = \left(0, \sqrt{13}\right)$$$.

El primer vértice es $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -2\right)$$$.

El segundo vértice es $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 2\right)$$$.

El primer co-vértice es $$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$.

El segundo co-vértice es $$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$.

La longitud del eje mayor es $$$2 b = 4$$$.

La longitud del eje menor es $$$2 a = 6$$$.

El parámetro focal es la distancia entre el foco y la directriz: $$$\frac{a^{2}}{c} = \frac{9 \sqrt{13}}{13}$$$.

Los lados rectos son las rectas paralelas al eje menor que pasan por los focos.

El primer lado recto es $$$y = - \sqrt{13}$$$.

El segundo lado recto es $$$y = \sqrt{13}$$$.

Los extremos del primer lado recto pueden hallarse resolviendo el sistema $$$\begin{cases} 4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0 \\ y = - \sqrt{13} \end{cases}$$$ (para los pasos, consulta calculadora de sistemas de ecuaciones).

Los extremos del primer lado recto son $$$\left(- \frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)$$$.

Los extremos del segundo lado recto pueden hallarse resolviendo el sistema $$$\begin{cases} 4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0 \\ y = \sqrt{13} \end{cases}$$$ (para los pasos, vea calculadora de sistemas de ecuaciones).

Los extremos del segundo lado recto son $$$\left(- \frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)$$$.

La longitud de los lados rectos (anchura focal) es $$$\frac{2 a^{2}}{b} = 9$$$.

La primera directriz es $$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = - \frac{4 \sqrt{13}}{13}$$$.

La segunda directriz es $$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = \frac{4 \sqrt{13}}{13}$$$.

La primera asíntota es $$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - \frac{2 x}{3}$$$.

La segunda asíntota es $$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = \frac{2 x}{3}$$$.

Las intersecciones con el eje x se pueden encontrar estableciendo $$$y = 0$$$ en la ecuación y despejando $$$x$$$ (para los pasos, véase calculadora de intersecciones).

Dado que no hay soluciones reales, no hay interceptos en x.

Los interceptos con el eje y pueden encontrarse fijando $$$x = 0$$$ en la ecuación y resolviendo para $$$y$$$: (para los pasos, consulta calculadora de interceptos).

intersecciones con el eje y: $$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$

Forma/ecuación estándar: $$$\frac{y^{2}}{2^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$A.

Forma de vértice/ecuación: $$$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$A.

Forma/ecuación general: $$$4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0$$$A.

Primera forma/ecuación foco-directriz: $$$x^{2} + \left(y + \sqrt{13}\right)^{2} = \frac{13 \left(y + \frac{4 \sqrt{13}}{13}\right)^{2}}{4}$$$A.

Segunda forma/ecuación foco-directriz: $$$x^{2} + \left(y - \sqrt{13}\right)^{2} = \frac{13 \left(y - \frac{4 \sqrt{13}}{13}\right)^{2}}{4}$$$A.

Gráfica: consulte graphing calculator.

Centro: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Primer foco: $$$\left(0, - \sqrt{13}\right)\approx \left(0, -3.605551275463989\right)$$$A.

Segundo foco: $$$\left(0, \sqrt{13}\right)\approx \left(0, 3.605551275463989\right)$$$A.

Primer vértice: $$$\left(0, -2\right)$$$A.

Segundo vértice: $$$\left(0, 2\right)$$$A.

Primer covértice: $$$\left(-3, 0\right)$$$A.

Segundo covértice: $$$\left(3, 0\right)$$$A.

Longitud del eje mayor (transverso): $$$4$$$A.

Longitud del semieje mayor: $$$2$$$A.

Longitud del eje menor (conjugado): $$$6$$$A.

Longitud del semieje menor: $$$3$$$A.

Primer lado recto: $$$y = - \sqrt{13}\approx -3.605551275463989$$$A.

Segundo lado recto: $$$y = \sqrt{13}\approx 3.605551275463989$$$A.

Extremos del primer lado recto: $$$\left(- \frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)\approx \left(-4.5, -3.605551275463989\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)\approx \left(4.5, -3.605551275463989\right)$$$A.

Extremos del segundo lado recto: $$$\left(- \frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)\approx \left(-4.5, 3.605551275463989\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)\approx \left(4.5, 3.605551275463989\right)$$$A.

Longitud de los lados rectos (anchura focal): $$$9$$$A

Parámetro focal: $$$\frac{9 \sqrt{13}}{13}\approx 2.496150883013531$$$A.

Excentricidad: $$$\frac{\sqrt{13}}{2}\approx 1.802775637731995$$$A.

Excentricidad lineal (distancia focal): $$$\sqrt{13}\approx 3.605551275463989$$$A.

Primera directriz: $$$y = - \frac{4 \sqrt{13}}{13}\approx -1.109400392450458$$$A.

Segunda directriz: $$$y = \frac{4 \sqrt{13}}{13}\approx 1.109400392450458$$$A.

Primera asíntota: $$$y = - \frac{2 x}{3}\approx - 0.666666666666667 x$$$A.

Segunda asíntota: $$$y = \frac{2 x}{3}\approx 0.666666666666667 x$$$A.

Intersecciones con el eje x: sin intersecciones con el eje x.

intersecciones con el eje y: $$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$A.

Dominio: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.

Rango: $$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[2, \infty\right)$$$A.