Υπολογιστής αθροίσματος Riemann για συνάρτηση

Προσεγγίστε το ολοκλήρωμα $$$\int\limits_{0}^{2} \sqrt[3]{x^{4} + 1}\, dx$$$ με $$$n = 4$$$ χρησιμοποιώντας το αριστερό άθροισμα Ρίμαν.

Το αριστερό άθροισμα Ρίμαν (επίσης γνωστό ως προσέγγιση με το αριστερό άκρο) χρησιμοποιεί το αριστερό άκρο ενός υποδιαστήματος για τον υπολογισμό του ύψους του προσεγγιστικού ορθογωνίου:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$$$

όπου $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Έχουμε ότι $$$f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x^{4} + 1}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 2$$$ και $$$n = 4$$$.

Επομένως, $$$\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2}$$$.

Διαιρέστε το διάστημα $$$\left[0, 2\right]$$$ σε $$$n = 4$$$ υποδιαστήματα μήκους $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$ με τα ακόλουθα άκρα: $$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{2}$$$, $$$1$$$, $$$\frac{3}{2}$$$, $$$2 = b$$$.

Τώρα, απλώς υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης στα αριστερά άκρα των υποδιαστημάτων.

$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = 1$$$

$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{\sqrt[3]{17} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{4}\approx 1.020413775479337$$$

$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(1 \right)} = \sqrt[3]{2}\approx 1.259921049894873$$$

$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{3}{2} \right)} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{97}}{4}\approx 1.82340825744217$$$

Τέλος, απλώς αθροίστε τις παραπάνω τιμές και πολλαπλασιάστε επί $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$: $$$\frac{1}{2} \left(1 + 1.020413775479337 + 1.259921049894873 + 1.82340825744217\right) = 2.55187154140819.$$$

$$$\int\limits_{0}^{2} \sqrt[3]{x^{4} + 1}\, dx\approx 2.55187154140819$$$A