Ολοκλήρωμα του $$$\ln^{3}\left(x^{6}\right)$$$

Βρείτε $$$\int \ln^{3}\left(x^{6}\right)\, dx$$$.

Η είσοδος επαναγράφεται: $$$\int{\ln{\left(x^{6} \right)}^{3} d x}=\int{216 \ln{\left(x \right)}^{3} d x}$$$.

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ με $$$c=216$$$ και $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}^{3}$$$:

$${\color{red}{\int{216 \ln{\left(x \right)}^{3} d x}}} = {\color{red}{\left(216 \int{\ln{\left(x \right)}^{3} d x}\right)}}$$

Για το ολοκλήρωμα $$$\int{\ln{\left(x \right)}^{3} d x}$$$, χρησιμοποιήστε την ολοκλήρωση κατά μέρη $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Έστω $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}^{3}$$$ και $$$\operatorname{dv}=dx$$$.

Τότε $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}^{3}\right)^{\prime }dx=\frac{3 \ln{\left(x \right)}^{2}}{x} dx$$$ (τα βήματα φαίνονται ») και $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (τα βήματα φαίνονται »).

Επομένως,

$$216 {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)}^{3} d x}}}=216 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)}^{3} \cdot x-\int{x \cdot \frac{3 \ln{\left(x \right)}^{2}}{x} d x}\right)}}=216 {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)}^{3} - \int{3 \ln{\left(x \right)}^{2} d x}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ με $$$c=3$$$ και $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}^{2}$$$:

$$216 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 216 {\color{red}{\int{3 \ln{\left(x \right)}^{2} d x}}} = 216 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 216 {\color{red}{\left(3 \int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}\right)}}$$

Για το ολοκλήρωμα $$$\int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}$$$, χρησιμοποιήστε την ολοκλήρωση κατά μέρη $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Έστω $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}^{2}$$$ και $$$\operatorname{dv}=dx$$$.

Τότε $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}^{2}\right)^{\prime }dx=\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} dx$$$ (τα βήματα φαίνονται ») και $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (τα βήματα φαίνονται »).

Επομένως,

$$216 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 648 {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}}}=216 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 648 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)}^{2} \cdot x-\int{x \cdot \frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} d x}\right)}}=216 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 648 {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)}^{2} - \int{2 \ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ με $$$c=2$$$ και $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}$$$:

$$216 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 648 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 648 {\color{red}{\int{2 \ln{\left(x \right)} d x}}} = 216 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 648 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 648 {\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Για το ολοκλήρωμα $$$\int{\ln{\left(x \right)} d x}$$$, χρησιμοποιήστε την ολοκλήρωση κατά μέρη $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Έστω $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ και $$$\operatorname{dv}=dx$$$.

Τότε $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$ (τα βήματα φαίνονται ») και $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (τα βήματα φαίνονται »).

Το ολοκλήρωμα μπορεί να επαναγραφεί ως

$$216 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 648 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 1296 {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)} d x}}}=216 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 648 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 1296 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=216 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 648 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 1296 {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)} - \int{1 d x}\right)}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα της σταθεράς $$$\int c\, dx = c x$$$ με $$$c=1$$$:

$$216 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 648 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 1296 x \ln{\left(x \right)} - 1296 {\color{red}{\int{1 d x}}} = 216 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 648 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 1296 x \ln{\left(x \right)} - 1296 {\color{red}{x}}$$

Επομένως,

$$\int{216 \ln{\left(x \right)}^{3} d x} = 216 x \ln{\left(x \right)}^{3} - 648 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 1296 x \ln{\left(x \right)} - 1296 x$$

Απλοποιήστε:

$$\int{216 \ln{\left(x \right)}^{3} d x} = 216 x \left(\ln{\left(x \right)}^{3} - 3 \ln{\left(x \right)}^{2} + 6 \ln{\left(x \right)} - 6\right)$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{216 \ln{\left(x \right)}^{3} d x} = 216 x \left(\ln{\left(x \right)}^{3} - 3 \ln{\left(x \right)}^{2} + 6 \ln{\left(x \right)} - 6\right)+C$$

$$$\int \ln^{3}\left(x^{6}\right)\, dx = 216 x \left(\ln^{3}\left(x\right) - 3 \ln^{2}\left(x\right) + 6 \ln\left(x\right) - 6\right) + C$$$A