Εφαπτομένη ευθεία της $$$y = x^{3} - 3 x + 2$$$ στο $$$x = 2$$$

Υπολογίστε την εφαπτομένη ευθεία της $$$y = x^{3} - 3 x + 2$$$ στο $$$x = 2$$$.

Δίνεται ότι $$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 3 x + 2$$$ και $$$x_{0} = 2$$$.

Βρείτε την τιμή της συνάρτησης στο δοσμένο σημείο: $$$y_{0} = f{\left(2 \right)} = 4$$$.

Η κλίση της εφαπτομένης στο $$$x = x_{0}$$$ είναι η παράγωγος της συνάρτησης, υπολογισμένη στο $$$x = x_{0}$$$: $$$M{\left(x_{0} \right)} = f^{\prime }\left(x_{0}\right)$$$.

Βρείτε την παράγωγο: $$$f^{\prime }\left(x\right) = \left(x^{3} - 3 x + 2\right)^{\prime } = 3 x^{2} - 3$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής παραγώγου).

Συνεπώς, $$$M{\left(x_{0} \right)} = f^{\prime }\left(x_{0}\right) = 3 x_{0}^{2} - 3$$$.

Στη συνέχεια, βρείτε την κλίση στο δοσμένο σημείο.

$$$m = M{\left(2 \right)} = 9$$$

Τελικά, η εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας είναι $$$y - y_{0} = m \left(x - x_{0}\right)$$$.

Αντικαθιστώντας τις βρεθείσες τιμές, προκύπτει ότι $$$y - 4 = 9 \left(x - 2\right)$$$.

Ή, απλούστερα: $$$y = 9 x - 14$$$.

Η εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας είναι $$$y = 9 x - 14$$$A.