Εφαπτομένη ευθεία της $$$y = - 2 \sin{\left(x \right)}$$$ στο $$$x = 34 \pi$$$

Υπολογίστε την εφαπτομένη ευθεία της $$$y = - 2 \sin{\left(x \right)}$$$ στο $$$x = 34 \pi$$$.

Δίνεται ότι $$$f{\left(x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)}$$$ και $$$x_{0} = 34 \pi$$$.

Βρείτε την τιμή της συνάρτησης στο δοσμένο σημείο: $$$y_{0} = f{\left(34 \pi \right)} = 0$$$.

Η κλίση της εφαπτομένης στο $$$x = x_{0}$$$ είναι η παράγωγος της συνάρτησης, υπολογισμένη στο $$$x = x_{0}$$$: $$$M{\left(x_{0} \right)} = f^{\prime }\left(x_{0}\right)$$$.

Βρείτε την παράγωγο: $$$f^{\prime }\left(x\right) = \left(- 2 \sin{\left(x \right)}\right)^{\prime } = - 2 \cos{\left(x \right)}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής παραγώγου).

Συνεπώς, $$$M{\left(x_{0} \right)} = f^{\prime }\left(x_{0}\right) = - 2 \cos{\left(x_{0} \right)}$$$.

Στη συνέχεια, βρείτε την κλίση στο δοσμένο σημείο.

$$$m = M{\left(34 \pi \right)} = -2$$$

Τελικά, η εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας είναι $$$y - y_{0} = m \left(x - x_{0}\right)$$$.

Αντικαθιστώντας τις βρεθείσες τιμές, προκύπτει ότι $$$y - 0 = - 2 \left(x - 34 \pi\right)$$$.

Ή, απλούστερα: $$$y = - 2 x + 68 \pi$$$.

Η εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας είναι $$$y = - 2 x + 68 \pi\approx 213.62830044410594 - 2 x$$$A.