|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Παράγωγος της $$$e^{- x^{2}}$$$
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής λογαριθμικής παραγώγισης, Υπολογιστής Έμμεσης Παραγώγισης με Βήματα
Η είσοδός σας
Βρείτε $$$\frac{d}{dx} \left(e^{- x^{2}}\right)$$$.
Λύση
Η συνάρτηση $$$e^{- x^{2}}$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ και $$$g{\left(x \right)} = - x^{2}$$$.
Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{- x^{2}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(- x^{2}\right)\right)}$$Η παράγωγος της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(- x^{2}\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(- x^{2}\right)$$Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(- x^{2}\right) = e^{{\color{red}\left(- x^{2}\right)}} \frac{d}{dx} \left(- x^{2}\right)$$Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασιαστή $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ με $$$c = -1$$$ και $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$:
$$e^{- x^{2}} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(- x^{2}\right)\right)} = e^{- x^{2}} {\color{red}\left(- \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)\right)}$$Εφαρμόστε τον κανόνα της δύναμης $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ με $$$n = 2$$$:
$$- e^{- x^{2}} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)\right)} = - e^{- x^{2}} {\color{red}\left(2 x\right)}$$Άρα, $$$\frac{d}{dx} \left(e^{- x^{2}}\right) = - 2 x e^{- x^{2}}$$$.
Απάντηση
$$$\frac{d}{dx} \left(e^{- x^{2}}\right) = - 2 x e^{- x^{2}}$$$A