Ιδιότητες της έλλειψης $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$

Βρείτε το κέντρο, τις εστίες, τις κορυφές, τις συζυγείς κορυφές, το μήκος του μεγάλου άξονα, το μήκος του μεγάλου ημιάξονα, το μήκος του μικρού άξονα, το μήκος του μικρού ημιάξονα, το εμβαδόν, την περίμετρο, τις εστιακές χορδές, το μήκος των εστιακών χορδών (εστιακό πλάτος), την εστιακή παράμετρο, την εκκεντρότητα, τη γραμμική εκκεντρότητα (εστιακή απόσταση), τις διευθετούσες, τις τομές με τον άξονα x, τις τομές με τον άξονα y, το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της έλλειψης $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$.

Η εξίσωση μιας έλλειψης είναι $$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$, όπου το $$$\left(h, k\right)$$$ είναι το κέντρο, ενώ τα $$$b$$$ και $$$a$$$ είναι τα μήκη του μείζονος και του ελάσσονος ημιάξονα.

Η έλλειψή μας σε αυτή τη μορφή είναι $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{4} + \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{5} = 1$$$.

Άρα, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 2$$$, $$$b = \sqrt{5}$$$.

Η τυπική μορφή είναι $$$\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}} = 1$$$.

Η μορφή κορυφής είναι $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$.

Η γενική μορφή είναι $$$5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0$$$.

Η γραμμική εκκεντρότητα (εστιακή απόσταση) είναι $$$c = \sqrt{b^{2} - a^{2}} = 1$$$.

Η εκκεντρότητα είναι $$$e = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$$.

Η πρώτη εστία είναι $$$\left(h, k - c\right) = \left(0, -1\right)$$$.

Η δεύτερη εστία είναι $$$\left(h, k + c\right) = \left(0, 1\right)$$$.

Η πρώτη κορυφή είναι $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, - \sqrt{5}\right)$$$.

Η δεύτερη κορυφή είναι $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, \sqrt{5}\right)$$$.

Η πρώτη συζυγής κορυφή είναι $$$\left(h - a, k\right) = \left(-2, 0\right)$$$.

Η δεύτερη συνκορυφή είναι $$$\left(h + a, k\right) = \left(2, 0\right)$$$.

Το μήκος του μείζονος άξονα είναι $$$2 b = 2 \sqrt{5}$$$.

Το μήκος του ελάσσονος άξονα είναι $$$2 a = 4$$$.

Το εμβαδό είναι $$$\pi a b = 2 \sqrt{5} \pi$$$.

Το μήκος της περιφέρειας είναι $$$4 b E\left(\frac{\pi}{2}\middle| e^{2}\right) = 4 \sqrt{5} E\left(\frac{1}{5}\right)$$$.

Η εστιακή παράμετρος είναι η απόσταση μεταξύ της εστίας και της διευθετούσας: $$$\frac{a^{2}}{c} = 4$$$.

Τα latera recta είναι οι ευθείες παράλληλες προς τον ελάσσονα άξονα που διέρχονται από τις εστίες.

Η πρώτη εστιακή κάθετη χορδή είναι $$$y = -1$$$.

Η δεύτερη ορθή χορδή είναι $$$y = 1$$$.

Τα άκρα της πρώτης ορθότομης μπορούν να βρεθούν επιλύοντας το σύστημα $$$\begin{cases} 5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0 \\ y = -1 \end{cases}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής συστήματος εξισώσεων).

Τα άκρα της πρώτης ορθής εστιακής χορδής είναι $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)$$$.

Τα άκρα της δεύτερης ορθής χορδής μπορούν να βρεθούν επιλύοντας το σύστημα $$$\begin{cases} 5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0 \\ y = 1 \end{cases}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής συστημάτων εξισώσεων).

Τα άκρα του δεύτερου ορθού πλάτους είναι $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)$$$.

Το μήκος των ορθοτμών (εστιακό πλάτος) είναι $$$\frac{2 a^{2}}{b} = \frac{8 \sqrt{5}}{5}$$$.

Η πρώτη διευθετούσα είναι $$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = -5$$$.

Η δεύτερη διευθετούσα είναι $$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = 5$$$.

Οι τομές με τον άξονα x μπορούν να βρεθούν θέτοντας $$$y = 0$$$ στην εξίσωση και λύνοντας ως προς $$$x$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής τομών με τους άξονες).

τομές με τον άξονα x: $$$\left(-2, 0\right)$$$, $$$\left(2, 0\right)$$$

Οι τομές με τον άξονα y μπορούν να βρεθούν θέτοντας $$$x = 0$$$ στην εξίσωση και λύνοντας ως προς $$$y$$$: (για τα βήματα, δείτε intercepts calculator).

τομές με τον άξονα y: $$$\left(0, - \sqrt{5}\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{5}\right)$$$

Το πεδίο ορισμού είναι $$$\left[h - a, h + a\right] = \left[-2, 2\right]$$$.

Το σύνολο τιμών είναι $$$\left[k - b, k + b\right] = \left[- \sqrt{5}, \sqrt{5}\right]$$$.

Κανονική μορφή/εξίσωση: $$$\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}} = 1$$$A.

Μορφή/εξίσωση κορυφής: $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$A.

Γενική μορφή/εξίσωση: $$$5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0$$$A.

Πρώτη μορφή/εξίσωση εστίας-διευθετούσας: $$$x^{2} + \left(y + 1\right)^{2} = \frac{\left(y + 5\right)^{2}}{5}$$$A.

Δεύτερη μορφή/εξίσωση εστίας-διευθετούσας: $$$x^{2} + \left(y - 1\right)^{2} = \frac{\left(y - 5\right)^{2}}{5}$$$A.

Γράφημα: δείτε το graphing calculator.

Κέντρο: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Πρώτη εστία: $$$\left(0, -1\right)$$$A.

Δεύτερη εστία: $$$\left(0, 1\right)$$$A.

Πρώτη κορυφή: $$$\left(0, - \sqrt{5}\right)\approx \left(0, -2.23606797749979\right)$$$A.

Δεύτερη κορυφή: $$$\left(0, \sqrt{5}\right)\approx \left(0, 2.23606797749979\right)$$$A.

Πρώτη συν-κορυφή: $$$\left(-2, 0\right)$$$A.

Δεύτερη συζυγής κορυφή: $$$\left(2, 0\right)$$$A.

Μήκος του μεγάλου άξονα: $$$2 \sqrt{5}\approx 4.472135954999579$$$A.

Μήκος του μεγάλου ημιάξονα: $$$\sqrt{5}\approx 2.23606797749979$$$A.

Μήκος ελάσσονος άξονα: $$$4$$$A.

Μήκος ημιελάσσονος άξονα: $$$2$$$A.

Εμβαδόν: $$$2 \sqrt{5} \pi\approx 14.049629462081453$$$A.

Περίμετρος: $$$4 \sqrt{5} E\left(\frac{1}{5}\right)\approx 13.318334443130703$$$A.

Πρώτο ορθόπλευρο: $$$y = -1$$$A.

Δεύτερη παραμετρική χορδή: $$$y = 1$$$A.

Άκρα της πρώτης παραμετρικής χορδής: $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)\approx \left(-1.788854381999832, -1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)\approx \left(1.788854381999832, -1\right)$$$A.

Άκρα της δεύτερης ορθής διαμέτρου: $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)\approx \left(-1.788854381999832, 1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)\approx \left(1.788854381999832, 1\right)$$$A.

Μήκος των latera recta (εστιακό πλάτος): $$$\frac{8 \sqrt{5}}{5}\approx 3.577708763999664$$$A.

Εστιακή παράμετρος: $$$4$$$A.

Εκκεντρότητα: $$$\frac{\sqrt{5}}{5}\approx 0.447213595499958$$$A.

Γραμμική εκκεντρότητα (εστιακή απόσταση): $$$1$$$A.

Πρώτη διευθετούσα: $$$y = -5$$$A.

Δεύτερη διευθετούσα: $$$y = 5$$$A.

τομές με τον άξονα x: $$$\left(-2, 0\right)$$$, $$$\left(2, 0\right)$$$A.

τομές με τον άξονα y: $$$\left(0, - \sqrt{5}\right)\approx \left(0, -2.23606797749979\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{5}\right)\approx \left(0, 2.23606797749979\right)$$$A.

Πεδίο ορισμού: $$$\left[-2, 2\right]$$$A.

Σύνολο τιμών: $$$\left[- \sqrt{5}, \sqrt{5}\right]\approx \left[-2.23606797749979, 2.23606797749979\right]$$$A.