Υπολογιστής παραβολής

Να βρεθούν η κορυφή, η εστία, η διευθετούσα, ο άξονας συμμετρίας, η εστιακή χορδή, το μήκος της εστιακής χορδής (εστιακό πλάτος), η εστιακή παράμετρος, η εστιακή απόσταση, η εκκεντρότητα, οι τομές με τον άξονα x, οι τομές με τον άξονα y, το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της παραβολής $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$.

Η εξίσωση μιας παραβολής είναι $$$y = \frac{1}{4 \left(f - k\right)} \left(x - h\right)^{2} + k$$$, όπου $$$\left(h, k\right)$$$ είναι η κορυφή και $$$\left(h, f\right)$$$ είναι η εστία.

Η παραβολή μας σε αυτή τη μορφή είναι $$$y = \frac{1}{4 \left(\frac{21}{4} - 5\right)} \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$.

Άρα, $$$h = 2$$$, $$$k = 5$$$, $$$f = \frac{21}{4}$$$.

Η τυπική μορφή είναι $$$y = x^{2} - 4 x + 9$$$.

Η γενική μορφή είναι $$$x^{2} - 4 x - y + 9 = 0$$$.

Η μορφή κορυφής είναι $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$.

Η διευθετούσα είναι $$$y = d$$$.

Για να βρείτε $$$d$$$, χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι η απόσταση από την εστία έως την κορυφή είναι ίση με την απόσταση από την κορυφή έως τη διευθετούσα: $$$5 - \frac{21}{4} = d - 5$$$.

Επομένως, η διευθετούσα είναι $$$y = \frac{19}{4}$$$.

Ο άξονας συμμετρίας είναι η ευθεία κάθετη στη διευθετούσα που διέρχεται από την κορυφή και την εστία: $$$x = 2$$$

Η εστιακή απόσταση είναι η απόσταση μεταξύ της εστίας και της κορυφής: $$$\frac{1}{4}$$$.

Η εστιακή παράμετρος είναι η απόσταση μεταξύ της εστίας και της διευθετούσας: $$$\frac{1}{2}$$$.

Η παράμετρος είναι παράλληλη προς τη διευθετούσα και διέρχεται από την εστία: $$$y = \frac{21}{4}$$$.

Τα άκρα της ορθής παραμέτρου μπορούν να βρεθούν λύνοντας το σύστημα $$$\begin{cases} x^{2} - 4 x - y + 9 = 0 \\ y = \frac{21}{4} \end{cases}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής συστήματος εξισώσεων).

Τα άκρα της ορθής εστιακής χορδής είναι $$$\left(\frac{3}{2}, \frac{21}{4}\right)$$$, $$$\left(\frac{5}{2}, \frac{21}{4}\right)$$$.

Το μήκος της εστιακής χορδής (εστιακό πλάτος) είναι τετραπλάσιο της απόστασης μεταξύ της κορυφής και της εστίας: $$$1$$$.

Η εκκεντρότητα μιας παραβολής είναι πάντα $$$1$$$.

Οι τομές με τον άξονα x μπορούν να βρεθούν θέτοντας $$$y = 0$$$ στην εξίσωση και λύνοντας ως προς $$$x$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής τομών με τους άξονες).

Εφόσον δεν υπάρχουν πραγματικές λύσεις, δεν υπάρχουν σημεία τομής με τον άξονα x.

Οι τομές με τον άξονα y μπορούν να βρεθούν θέτοντας $$$x = 0$$$ στην εξίσωση και λύνοντας ως προς $$$y$$$: (για τα βήματα, δείτε intercepts calculator).

Τομή με τον άξονα y: $$$\left(0, 9\right)$$$.

Κανονική μορφή/εξίσωση: $$$y = x^{2} - 4 x + 9$$$A.

Γενική μορφή/εξίσωση: $$$x^{2} - 4 x - y + 9 = 0$$$A.

Μορφή/εξίσωση κορυφής: $$$y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$$$A.

Μορφή/εξίσωση εστίας-διευθετούσας: $$$\left(x - 2\right)^{2} + \left(y - \frac{21}{4}\right)^{2} = \left(y - \frac{19}{4}\right)^{2}$$$A.

Γράφημα: δείτε το graphing calculator.

Κορυφή: $$$\left(2, 5\right)$$$A.

Εστία: $$$\left(2, \frac{21}{4}\right) = \left(2, 5.25\right)$$$A.

Διευθετούσα: $$$y = \frac{19}{4} = 4.75$$$A.

Άξονας συμμετρίας: $$$x = 2$$$A.

Ορθή διευθετούσα: $$$y = \frac{21}{4} = 5.25$$$A.

Άκρα της ορθόπλευρης χορδής: $$$\left(\frac{3}{2}, \frac{21}{4}\right) = \left(1.5, 5.25\right)$$$, $$$\left(\frac{5}{2}, \frac{21}{4}\right) = \left(2.5, 5.25\right)$$$A.

Μήκος της παραμετρικής χορδής (εστιακό πλάτος): $$$1$$$A.

Εστιακή παράμετρος: $$$\frac{1}{2} = 0.5$$$A.

Εστιακή απόσταση: $$$\frac{1}{4} = 0.25$$$A.

Εκκεντρότητα: $$$1$$$A.

τομές με τον άξονα x: δεν υπάρχουν σημεία τομής με τον άξονα x.

Τομή με τον άξονα y: $$$\left(0, 9\right)$$$A.

Πεδίο ορισμού: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.

Σύνολο τιμών: $$$\left[5, \infty\right)$$$A.